Questão 104 (OBMEP/POTI). Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede: determinar o coeficiente do termo
no desenvolvimento dessa expressão.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Primeiro fator:
. - Segundo fator:
. - Queremos o coeficiente do monômio
.
Passo 2
Vou usar o Teorema do Binômio para escrever o termo geral de cada potência. Lembrete do Teorema do Binômio: para
e quaisquer
,
onde
é o coeficiente binomial e conta quantas maneiras escolher
fatores
entre os
fatores do produto. Aqui cada monômio vem de escolher quantas vezes pegamos o primeiro termo
e quantas vezes o segundo termo
.
Passo 3
Aplicando isso ao primeiro fator, com
,
e
, o termo geral (quando escolhemos
vezes
) é
A potência de
nesse termo vale
O coeficiente numérico desse termo é
.
Passo 4
Para o segundo fator, com
,
e
, o termo geral (quando escolhemos
vezes
) é
A potência de
nesse termo vale
O coeficiente numérico desse termo é
.
Passo 5
Ao multiplicar um termo do primeiro fator (escolha
) por um termo do segundo fator (escolha
), o expoente total de
é
Queremos
. Então
Agora impomos as restrições
e
. As soluções inteiras possíveis são:
Passo 6
Calcular a contribuição numérica de cada par
. A contribuição é
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando todas as contribuições, o coeficiente total do termo
é
Resposta
35