Questão 104 (OBMEP/POTI). Determine o coeficiente de x^{-9} no desenvolvimento de \left(x^{2}+\frac{1}{x^{5}}\right)^{2} \cdot\left(x^{3}+\frac{1}{x^{4}}\right)^{5}.

Passo 1

O enunciado dá a expressão \left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{5}}\right)^{2}\cdot\left(x^{3}+\dfrac{1}{x^{4}}\right)^{5} e pede: determinar o coeficiente do termo x^{-9} no desenvolvimento dessa expressão.
Informações relevantes fornecidas:
  • Primeiro fator: \left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{5}}\right)^{2}.
  • Segundo fator: \left(x^{3}+\dfrac{1}{x^{4}}\right)^{5}.
  • Queremos o coeficiente do monômio x^{-9}.

Passo 2

Vou usar o Teorema do Binômio para escrever o termo geral de cada potência. Lembrete do Teorema do Binômio: para n\in\mathbb{N} e quaisquer a,b,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial e conta quantas maneiras escolher k fatores b entre os n fatores do produto. Aqui cada monômio vem de escolher quantas vezes pegamos o primeiro termo a e quantas vezes o segundo termo b.

Passo 3

Aplicando isso ao primeiro fator, com a=x^{2}, b=x^{-5} e n=2, o termo geral (quando escolhemos k vezes b) é
\binom{2}{k}(x^{2})^{\,2-k}(x^{-5})^{\,k}, \qquad k=0,1,2.
A potência de x nesse termo vale
e_{1}=2(2-k)+(-5)k=4-7k.
O coeficiente numérico desse termo é \binom{2}{k}.

Passo 4

Para o segundo fator, com a=x^{3}, b=x^{-4} e n=5, o termo geral (quando escolhemos j vezes b) é
\binom{5}{j}(x^{3})^{\,5-j}(x^{-4})^{\,j}, \qquad j=0,1,2,3,4,5.
A potência de x nesse termo vale
e_{2}=3(5-j)+(-4)j=15-7j.
O coeficiente numérico desse termo é \binom{5}{j}.

Passo 5

Ao multiplicar um termo do primeiro fator (escolha k) por um termo do segundo fator (escolha j), o expoente total de x é
e=e_{1}+e_{2}=(4-7k)+(15-7j)=19-7(k+j).
Queremos e=-9. Então
19-7(k+j)=-9 \quad\Rightarrow\quad 7(k+j)=28 \quad\Rightarrow\quad k+j=4.
Agora impomos as restrições k\in\{0,1,2\} e j\in\{0,1,2,3,4,5\}. As soluções inteiras possíveis são:
(k,j)=(0,4),\\ (1,3),\\ (2,2).

Passo 6

Calcular a contribuição numérica de cada par (k,j). A contribuição é \binom{2}{k}\binom{5}{j}.
  • Para (k,j)=(0,4):
\binom{2}{0}\binom{5}{4}=1\cdot5=5.
  • Para (k,j)=(1,3):
\binom{2}{1}\binom{5}{3}=2\cdot10=20.
  • Para (k,j)=(2,2):
\binom{2}{2}\binom{5}{2}=1\cdot10=10.
Somando todas as contribuições, o coeficiente total do termo x^{-9} é
5+20+10=35.

Resposta

35

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