Resolva os problemas a seguir:
Quantos termos racionais aparecem no desenvolvimento de (\sqrt{2}+\sqrt{5})^{50} ?

Passo 1

O que o enunciado pede: contar quantos termos racionais aparecem no desenvolvimento de (\sqrt{2}+\sqrt{5})^{50}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a desenvolver é (\sqrt{2}+\sqrt{5})^{50}.
  • O expoente é 50, um número par.
  • No desenvolvimento via binômio de Newton surgirão 51 termos individuais antes de qualquer soma de termos semelhantes (índices k=0,1,\dots,50).

Passo 2

Aplicar o binômio de Newton: cada termo geral do desenvolvimento é dado por
\binom{50}{k}(\sqrt{2})^{50-k}(\sqrt{5})^{k},
para k=0,1,\dots,50. Aqui \binom{50}{k} é o coeficiente binomial (um número racional) e (\sqrt{2})^{50-k}(\sqrt{5})^{k} é a parte com radicais.

Passo 3

Entender quando um termo é racional: escrever as potências de \sqrt{2} e \sqrt{5} em forma de potências de 2 e 5 multiplicadas por possíveis radicais.
Se m é inteiro, (\sqrt{2})^{m}=2^{m/2} e (\sqrt{5})^{n}=5^{n/2}. Assim o termo geral vale
\binom{50}{k}2^{\frac{50-k}{2}}5^{\frac{k}{2}}.
Se \dfrac{50-k}{2} e \dfrac{k}{2} forem inteiros simultaneamente, então o fator envolvendo 2 e 5 é uma potência inteira de 2 multiplicada por uma potência inteira de 5, logo racional. Caso contrário sobra um fator \sqrt{2}, \sqrt{5} ou \sqrt{10}, tornando o termo irracional.

Passo 4

Analisar as paridades: \dfrac{50-k}{2} é inteiro exatamente quando 50-k é par; \dfrac{k}{2} é inteiro exatamente quando k é par. Como 50 é par, 50-k e k têm sempre a mesma paridade: se k é par então 50-k é par; se k é ímpar então 50-k é ímpar. Portanto os dois expoentes são inteiros simultaneamente exatamente quando k é par.

Passo 5

Conclusão sobre quais k geram termos racionais: todos os k pares entre 0 e 50 produzem termos racionais; todos os k ímpares produzem termos irracionais (com fator \sqrt{2}, \sqrt{5} ou \sqrt{10}).

Passo 6

Contar quantos k pares existem entre 0 e 50 inclusive. Escrever k=2j com j=0,1,2,\dots,25. Assim há 25-0+1=26 valores possíveis de j, logo há 26 valores de k pares.

Passo 7

Portanto, no desenvolvimento de (\sqrt{2}+\sqrt{5})^{50} aparecem 26 termos racionais (um para cada k par de 0 a 50).

Resposta

26

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