Resolva os problemas:
Seja o sistema linear
2 x+3 y-4 z=1
3 x+4 y+3 z=b . Calcule a e b para que o sistema seja impossível.
5 x+7 y+a z=8

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z:
\begin{cases} 2x+3y-4z=1,\\\\ 3x+4y+3z=b,\\\\ 5x+7y+az=8. \end{cases}
Queremos que ele seja impossível. Para isso precisamos que a matriz de coeficientes seja singular (determinante zero) e que a matriz aumentada tenha posto maior que o da matriz de coeficientes.

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & -4\\\\ 3 & 4 & 3\\\\ 5 & 7 & a \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus ou expansão, obtemos
\det(A) =2\,(4a-3\cdot7)-3\,(3a-3\cdot5)-4\,(3\cdot7-4\cdot5) =-(a+1).

Passo 3

Para que o sistema seja singular, impomos
\det(A)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+1=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-1.

Passo 4

Com a=-1, a terceira linha de A fica (5,7,-1). Note que
(5,7,-1)=(2,3,-4)+(3,4,3),
isto é, a terceira equação é soma das duas primeiras em relação aos coeficientes.

Passo 5

Para que o sistema seja impossível, a mesma combinação não pode valer nos termos independentes. Como a soma dos termos independentes das duas primeiras é
1 + b,
para consistir com a terceira precisaríamos 8=1+b, ou seja b=7. Logo, se b\neq7 há incompatibilidade nos termos independentes e o sistema fica impossível.

Resposta

a=-1 \quad\text{e}\quad b\neq7.

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