Resolva os problemas:
Quais são os valores de a para que o sistema linear
a x+y-z=4
x+a y+z=0 seja possível e determinado?
x-z=2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro a em três incógnitas x,y,z:
\begin{cases} a\,x + y - z = 4,\\\ x + a\,y + z = 0,\\\ x - z = 2. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistema linear quadrado e a condição para ele ser possível e determinado (isto é, ter solução única) é que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} a & 1 & -1\\\\ 1 & a & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) por expansão:
\det(A) = a\bigl(a\cdot(-1)-1\cdot0\bigr) -1\bigl(1\cdot(-1)-1\cdot1\bigr) +(-1)\bigl(1\cdot0 - a\cdot1\bigr).
Isso dá
\det(A) = a(-a) -1(-2) -1(-a) = -a^2 +2 +a = -(a^2 - a -2) = -(a-2)(a+1).

Passo 3

Para que o sistema seja possível e determinado precisamos de
\det(A)\neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -(a-2)(a+1)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq2\;\text{e}\;a\neq -1.

Resposta

Os valores de a que tornam o sistema possível e determinado são
a\neq 2 \quad\text{e}\quad a\neq -1.

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