Vamos usar solução por partes: em cada intervalo f é constante, então montamos a solução geral (homogênea mais particular quando f\neq0) e ajustamos as condições de continuidade de y e y' nos instantes t=\pi e t=2\pi.
Passo 2
Intervalo 0\le t<\pi. Aqui f(t)=0, a equação é homogênea.
Solução geral
y_h(t)=e^{-t}\bigl(A\cos t+B\sin t\bigr).
Impondo y(0)=0\Rightarrow A=0 e
y'(t)=e^{-t}\bigl(-A\cos t-B\sin t -A\sin t+B\cos t\bigr),