Q11. Seguindo os passos da questão anterior, encontre a solução geral dos seguintes sistemas de EDO:
(a) \quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}3 & -2 \\\\ 2 & -2\end{array}\right) \mathbf{x};

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
\mathbf{x}' = A\,\mathbf{x},
onde
A = \begin{pmatrix}3 & -2\\[6pt]2 & -2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolver um sistema linear homogêneo de coeficientes constantes por meio de autovalores e autovetores de A.]

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\!\begin{pmatrix}3-\lambda & -2\\[4pt]2 & -2-\lambda\end{pmatrix} = (3-\lambda)(-2-\lambda)-(-2)\cdot2.
Desenvolvendo, vem
(3-\lambda)(-2-\lambda)+4 = -(6+3\lambda-2\lambda-\lambda^2)+4 = \lambda^2-\lambda-2.]

Passo 3

Resolvendo
\lambda^2 - \lambda - 2 = 0
pela fórmula de Bhaskara, obtemos
\lambda = \frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2} \;\Longrightarrow\; \lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = -1.

Passo 4

Para \lambda_1=2, resolvemos
(A - 2I)\,\mathbf{v} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha v_1 - 2v_2=0, escolhemos v_2=1 e v_1=2. Logo um autovetor é
\mathbf{v}^{(1)} = \begin{pmatrix}2\\[3pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2=-1, resolvemos
(A + I)\,\mathbf{v} = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[3pt]v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha 4v_1 -2v_2=0 v_2=2v_1. Tomando v_1=1, fica
\mathbf{v}^{(2)} = \begin{pmatrix}1\\[3pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como o sistema tem dois autovalores distintos e dois autovetores linearmente independentes, a solução geral é
\mathbf{x}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}\,\mathbf{v}^{(1)} + C_2 e^{\lambda_2 t}\,\mathbf{v}^{(2)}.

Resposta

\mathbf{x}(t) = C_1 e^{2t} \begin{pmatrix}2\\[3pt]1\end{pmatrix} + C_2 e^{-t} \begin{pmatrix}1\\[3pt]2\end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.]

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