Resolva os problemas de valor inicial:
(1 + e^x) * y * y' = e^x, com y(0) = raiz(ln 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial e uma condição inicial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem, e para resolver vamos precisar saber como separar as variáveis e integrar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e a condição inicial .

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para deixar isolado:
Agora, temos uma equação onde e estão misturados, mas podemos separá-los para facilitar a resolução.

Passo 4

Vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso nos permite integrar ambos os lados independentemente.

Passo 5

Agora, vamos integrar os dois lados da equação:
Aí, temos que encontrar as integrais de cada lado.

Passo 6

Começando pela integral do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, a integral do lado direito. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja , então .
Substituindo, temos:
Onde é outra constante de integração.

Passo 8

Juntando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar as constantes combinando :

Passo 9

Agora, vamos resolver para . Multiplicando ambos os lados por 2:
Podemos redefinir como uma nova constante :

Passo 10

Finalmente, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :
Resolvendo para :

Passo 11

Agora, substituímos de volta na equação de :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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