Resolva os problemas de valor inicial:
d y/d x + y = (1 - e^(-2 x))/(e^(x) + e^(-x)), y(0) = ln 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem uma equação do tipo com a condição inicial . Aqui, a matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Precisamos saber como achar o fator integrante para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão: . Nesse caso, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por . Como , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Mas simplificando mais, a equação fica:

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Simplificando a integral:
Sabendo que , podemos simplificar a fração e integrar.

Passo 6

Após simplificar e integrar, encontramos:
Então, isolando :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial :

Resposta

Então, a solução da equação diferencial é:

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