Resolva os problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! A gente tem uma equação do tipo
com a condição inicial
. Aqui, a matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem. Precisamos saber como achar o fator integrante para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
. Nesse caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. Ele é dado por
. Como
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Mas simplificando mais, a equação fica:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Simplificando a integral:
Sabendo que
, podemos simplificar a fração e integrar.
Passo 6
Após simplificar e integrar, encontramos:
Então, isolando
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Resposta
Então, a solução da equação diferencial é: