Resolva os problemas de valor inicial:
d yd x=e^y e y(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO inicial
Dy/dx = e^y com condição y(0)=1, o que caracteriza uma equação diferencial separável: vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Separe as variáveis para colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Temos:
dydx=e^y
Dividindo ambos os lados por e^y e multiplicando por dx, obtemos:
e^-y,dy = dx

Passo 3

Integre ambos os lados. À esquerda é a integral de e^{-y} dy e à direita a de 1 dx:
integral e^-y,dy = integral 1,dx implies -e^-y = x + C

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 em -e^-y=x+C dá:
-e^-1 = 0 + C implies C = -e^-1

Passo 5

Substitua C de volta e isole y. Ficamos com:
-e^-y = x - e^-1 implies e^-y = e^-1 - x implies -y = lnl(e^-1-xr) implies y = -lnl(e^-1-xr)

Resposta

y(x) = -\ln\bigl(e^{-1} - x\bigr)

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