Resolva os problemas de valor inicial:
e
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO inicial
Dy/dx = e^y com condição y(0)=1, o que caracteriza uma equação diferencial separável: vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para achar a constante de integração.
Dy/dx = e^y com condição y(0)=1, o que caracteriza uma equação diferencial separável: vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial para achar a constante de integração.
Passo 2
Separe as variáveis para colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Temos:
Dividindo ambos os lados por e^y e multiplicando por dx, obtemos:
Passo 3
Integre ambos os lados. À esquerda é a integral de e^{-y} dy e à direita a de 1 dx:
Passo 4
Use a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 e y=1 em
dá:
Passo 5
Substitua C de volta e isole y. Ficamos com:
Resposta
y(x) = -\ln\bigl(e^{-1} - x\bigr)