Resolva os problemas de valor inicial:
(a) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=t^{2}+3 \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método de resolução em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois achamos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
y'' + y' - 2y = 0,
escrevemos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.
As raízes são
r = 1 \quad\text{e}\quad r = -2.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}.
Passo 3
Procurando uma solução particular y_p para o termo t^2+3, assumimos um polinômio de grau 2:
y_p(t) = A\,t^2 + B\,t + C.
Calculamos
y_p'(t) = 2A\,t + B,\qquad y_p''(t)=2A,
e substituímos em y''+y'-2y:
y_p''+y_p'-2y_p =2A + (2A\,t + B) - 2\bigl(A\,t^2 + B\,t + C\bigr) =-2A\,t^2 + (2A-2B)\,t + (2A + B -2C).
Esse deve ser igual a t^2+3. Comparando coeficientes de potências de t:
-2A = 1,\quad 2A-2B = 0,\quad 2A+B-2C = 3.
Daí
A = -\tfrac12,\quad 2(-\tfrac12)-2B=0\implies B=-\tfrac12,\quad 2(-\tfrac12)+(-\tfrac12)-2C=3\implies C=-\tfrac{9}{4}.