Resolva os problemas de valor inicial:
(a) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=t^{2}+3 \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = t^2 + 3,\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo polinomial. Vamos usar o método de resolução em duas etapas: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois achamos uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
y'' + y' - 2y = 0,
escrevemos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0.
As raízes são
r = 1 \quad\text{e}\quad r = -2.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Procurando uma solução particular y_p para o termo t^2+3, assumimos um polinômio de grau 2:
y_p(t) = A\,t^2 + B\,t + C.
Calculamos
y_p'(t) = 2A\,t + B,\qquad y_p''(t)=2A,
e substituímos em y''+y'-2y:
y_p''+y_p'-2y_p =2A + (2A\,t + B) - 2\bigl(A\,t^2 + B\,t + C\bigr) =-2A\,t^2 + (2A-2B)\,t + (2A + B -2C).
Esse deve ser igual a t^2+3. Comparando coeficientes de potências de t:
-2A = 1,\quad 2A-2B = 0,\quad 2A+B-2C = 3.
Daí
A = -\tfrac12,\quad 2(-\tfrac12)-2B=0\implies B=-\tfrac12,\quad 2(-\tfrac12)+(-\tfrac12)-2C=3\implies C=-\tfrac{9}{4}.
Logo
y_p(t) = -\tfrac12\,t^2 \;-\;\tfrac12\,t \;-\;\tfrac{9}{4}.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é
y(t)=y_h(t)+y_p(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t} \;-\;\tfrac12\,t^2 - \tfrac12\,t - \tfrac{9}{4}.
Derivando,
y'(t)=C_1 e^{t} -2C_2 e^{-2t} - t - \tfrac12.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=0\implies C_1 + C_2 - \tfrac{9}{4} = 0,
y'(0)=0\implies C_1 - 2C_2 - \tfrac12 = 0.
Esse sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{9}{4},\\\ C_1 -2C_2 = \tfrac12 \end{cases}
tem solução
C_1 = \tfrac{5}{3},\qquad C_2 = \tfrac{7}{12}.

Resposta

\boxed{y(t)=\tfrac{5}{3}\,e^{t} \;+\;\tfrac{7}{12}\,e^{-2t} \;-\;\tfrac12\,t^2 \;-\;\tfrac12\,t \;-\;\tfrac{9}{4}.}

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