Resolva os problemas de valor inicial:
(b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=3 \operatorname{sen}(2 t) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 3\sin(2t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
y_h'' + 2y_h' + y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=-1. Logo
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}.
Passo 3
Para a solução particular y_p, como o forçante é 3\sin(2t) e \pm 2i não são raízes da característica, supondo