Resolva os problemas de valor inicial:
(b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=3 \operatorname{sen}(2 t) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + y = 3\sin(2t), \quad y(0)=0,\quad y'(0)=0.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y_h'' + 2y_h' + y_h = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0
que tem raiz dupla r=-1. Logo
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}.

Passo 3

Para a solução particular y_p, como o forçante é 3\sin(2t) e \pm 2i não são raízes da característica, supondo
y_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
Então
y_p'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t), \quad y_p''(t) = -4A\cos(2t) -4B\sin(2t).
Substituindo em y''+2y'+y obtém-se
(-4A\cos2t -4B\sin2t) +2(-2A\sin2t+2B\cos2t) +(A\cos2t+B\sin2t) =3\sin2t.
Agrupando coeficientes:
(-3A+4B)\cos2t +(-4A-3B)\sin2t = 0\cdot\cos2t + 3\sin2t.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} -3A + 4B = 0,\\\\ -4A - 3B = 3, \end{cases}
resolve-se
A = -\tfrac{12}{25}, \quad B = -\tfrac{9}{25}.
Logo
y_p(t) = -\tfrac{12}{25}\cos(2t) - \tfrac{9}{25}\sin(2t).

Passo 4

A solução geral é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t} -\tfrac{12}{25}\cos(2t) - \tfrac{9}{25}\sin(2t).
Usando y(0)=0:
y(0)=C_1 - \tfrac{12}{25} = 0 \;\Longrightarrow\; C_1=\tfrac{12}{25}.
Para y'(t):
y'(t) = -C_1 e^{-t} + C_2 e^{-t}(1-t) + \bigl(-2A\sin2t+2B\cos2t\bigr).
Em t=0 temos y'(0)= -C_1 + C_2 +2B=0, ou seja
-C_1 + C_2 + 2B = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = C_1 - 2B = \tfrac{12}{25} - 2\bigl(-\tfrac{9}{25}\bigr) = \tfrac{6}{5}.

Resposta

y(t) = \tfrac{12}{25}\,e^{-t} + \tfrac{6}{5}\,t\,e^{-t} - \tfrac{12}{25}\cos(2t) - \tfrac{9}{25}\sin(2t).

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