Resolva os problemas:
Qual é o valor de w no sistema
x+y+z+w=0
2 x-y+w=1
y+z-2 w=0
4 y+3 z=7
?

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com quatro incógnitas x,y,z,w\): \[\begin{cases} x + y + z + w = 0,\\\\ 2x - y + w = 1,\\\ y + z - 2w = 0,\\\\ 4y + 3z = 7. \end{cases}
Queremos encontrar apenas w\]. Vamos usar o método de eliminação: em primeiro lugar, expressar \(x em função de y,z,w e substituir nas equações seguintes.

Passo 2

Da primeira equação
x + y + z + w = 0
segue
x = -\,y - z - w.
Substituindo em 2x - y + w = 1, temos
2(-y - z - w)\;-\;y\;+\;w \;=\;1
-2y -2z -2w \;-\;y + w = 1
-3y -2z -w = 1
e, portanto,
w = -1 \;-\;3y \;-\;2z.

Passo 3

Da terceira equação
y + z - 2w = 0
isolamos w:
2w = y + z \quad\Longrightarrow\quad w = \frac{y+z}{2}.

Passo 4

Igualando as duas expressões de w,
-1 -3y -2z = \frac{y+z}{2},
multiplicamos por 2 e rearranjamos:
-2 -6y -4z = y + z \quad\Longrightarrow\quad -2 -7y -5z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7y + 5z = -2.
Agora temos um sistema de duas equações em y,z:
\begin{cases} 4y + 3z = 7,\\\\ 7y + 5z = -2. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo
4y + 3z = 7, \qquad 7y + 5z = -2,
podemos, por exemplo, multiplicar a primeira por 5 e a segunda por 3:
20y +15z = 35, \quad 21y +15z = -6,
subtrair e obter -y = 41, ou seja
y = -41.
Substituindo em 4y + 3z = 7:
4(-41) + 3z = 7 \quad\Longrightarrow\quad -164 + 3z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 3z = 171 \quad\Longrightarrow\quad z = 57.

Passo 6

Finalmente, usamos w = \frac{y+z}{2}:
w = \frac{-41 + 57}{2} = \frac{16}{2} = 8.

Resposta

w = 8

Exercícios relacionados