Resolva o PVI e determine (pelo menos aproximadamente) um intervalo no qual a solução está definida
\displaystyle y^{\prime}=\frac{x y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
y'=\frac{x\,y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}},\qquad y(0)=1.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz o PVI.
  • Determinar (pelo menos aproximadamente) um intervalo em torno de x=0 em que essa solução está definida.
As informações relevantes: a equação diferencial fornece y' em função de x e y, e o valor inicial em x=0 é y(0)=1.

Passo 2

Observação e estratégia (explicando o conceito usado): a equação é do tipo que permite separação de variáveis — isto significa que dá para escrever os termos com y de um lado e os termos com x do outro e então integrar. Mais precisamente, se tivermos uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=G(x)H(y), podemos rearranjar para \dfrac{1}{H(y)}\,dy=G(x)\,dx e integrar ambos os lados. Aqui podemos aplicar isso porque
\frac{dy}{dx}=\frac{x\,y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}
pode ser reescrita como
\frac{dy}{y^{3}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Integração dos dois lados. Vou integrar ambos os lados em relação à variável correspondente.
Escrevendo a integração:
\int \frac{dy}{y^{3}}=\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Calcule a integral à esquerda. Lembre que \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} se n\neq -1. Aqui n=-3, logo
\int \frac{dy}{y^{3}}=\int y^{-3}\,dy=\frac{y^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2y^{2}} + C_{1}.
Agora a integral à direita. Faço a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx=\int \frac{1}{2}u^{-1/2}\,du=\frac{1}{2}\cdot 2u^{1/2}=u^{1/2}=\sqrt{1+x^{2}} + C_{2}.
Juntando (absorvendo constantes numa só constante C):
-\frac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}} + C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar C. No ponto x=0 temos y(0)=1. Substituindo:
-\frac{1}{2\cdot 1^{2}}=\sqrt{1+0^{2}} + C \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{2}=1+C.
Logo
C=-\frac{3}{2}.
Portanto a relação obtida é
-\frac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}-\frac{3}{2}.

Passo 5

Isolar y. Multiplico ambos os lados por -2:
\frac{1}{y^{2}}=-2\sqrt{1+x^{2}}+3.
Reescrevendo,
\frac{1}{y^{2}}=3-2\sqrt{1+x^{2}}.
Como y(0)=1>0, escolhemos a raiz positiva ao resolver para y. Assim
y^{2}=\frac{1}{3-2\sqrt{1+x^{2}}}
e finalmente
y(x)=\frac{1}{\sqrt{\,3-2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.

Passo 6

Determinar o intervalo de definição (domínio) da solução. Para que y(x) seja real finita, o denominador dentro da raiz deve ser positivo:
3-2\sqrt{1+x^{2}}>0.
Isto equivale a
\sqrt{1+x^{2}}<\frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado (notando que ambos os lados são não negativos) temos
1+x^{2}<\frac{9}{4}\quad\Rightarrow\quad x^{2}<\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}.
Portanto
|x|<\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Assim a solução real (e finita) existe para todo x com |x|<\dfrac{\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Comentário sobre maximalidade e comportamento nas extremidades: ao aproximar-se de x=\pm \dfrac{\sqrt{5}}{2} o denominador 3-2\sqrt{1+x^{2}} tende a zero e y(x) tende a +\infty (explosão da solução). Fora desse intervalo o lado direito seria negativo e não haveria y real. Pelo teorema de existência e unicidade local, a solução que encontramos é a única solução real passando por y(0)=1 enquanto a solução permanece finita; o intervalo máximo contendo 0 onde a solução é real é \big(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\dfrac{\sqrt{5}}{2}\big).
Para dar um número aproximado,
\frac{\sqrt{5}}{2}\approx\frac{2{,}23607}{2}\approx 1{,}11803.
Um exemplo rápido para fixar a ideia de separação: se fosse \dfrac{dy}{dx}=x y com y(0)=1, separaríamos dy/y=x\,dx e integraríamos para obter \ln y = x^{2}/2 + C, logo y=e^{x^{2}/2}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{\sqrt{\,3-2\sqrt{1+x^{2}}\,}}
\text{A solução está definida para }|x|<\frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}11803.çãá

Exercícios relacionados