Resolva o PVI e determine (pelo menos aproximadamente) um intervalo no qual a solução está definida
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
O que é pedido:
- Encontrar a solução
que satisfaz o PVI. - Determinar (pelo menos aproximadamente) um intervalo em torno de
em que essa solução está definida.
As informações relevantes: a equação diferencial fornece
em função de
e
, e o valor inicial em
é
.
Passo 2
Observação e estratégia (explicando o conceito usado): a equação é do tipo que permite separação de variáveis — isto significa que dá para escrever os termos com
de um lado e os termos com
do outro e então integrar. Mais precisamente, se tivermos uma equação da forma
, podemos rearranjar para
e integrar ambos os lados. Aqui podemos aplicar isso porque
pode ser reescrita como
Passo 3
Integração dos dois lados. Vou integrar ambos os lados em relação à variável correspondente.
Escrevendo a integração:
Calcule a integral à esquerda. Lembre que
se
. Aqui
, logo
Agora a integral à direita. Faço a substituição
, então
e
. Assim
Juntando (absorvendo constantes numa só constante
):
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar
. No ponto
temos
. Substituindo:
Logo
Portanto a relação obtida é
Passo 5
Isolar
. Multiplico ambos os lados por
:
Reescrevendo,
Como
, escolhemos a raiz positiva ao resolver para
. Assim
e finalmente
Passo 6
Determinar o intervalo de definição (domínio) da solução. Para que
seja real finita, o denominador dentro da raiz deve ser positivo:
Isto equivale a
Elevando ao quadrado (notando que ambos os lados são não negativos) temos
Portanto
Assim a solução real (e finita) existe para todo
com
.
Passo 7
Comentário sobre maximalidade e comportamento nas extremidades: ao aproximar-se de
o denominador
tende a zero e
tende a
(explosão da solução). Fora desse intervalo o lado direito seria negativo e não haveria
real. Pelo teorema de existência e unicidade local, a solução que encontramos é a única solução real passando por
enquanto a solução permanece finita; o intervalo máximo contendo
onde a solução é real é
.
Para dar um número aproximado,
Um exemplo rápido para fixar a ideia de separação: se fosse
com
, separaríamos
e integraríamos para obter
, logo
.