Resolva os PVI’s abaixo;
\left\{\begin{array}{l}t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{-t}, \quad t<0, \y(-1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pela condição inicial. Escrevendo exatamente o que foi dado:
\left\{\begin{array}{l} t^{3}y'(t)+4t^{2}y(t)=e^{-t},\qquad t<0,\\[4pt] y(-1)=0. \end{array}\right.
O que pede: encontrar a função y(t) definida para t<0 que satisfaz a equação diferencial e a condição y(-1)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação contém fatores em t, portanto t=0 é singular; o enunciado já restringiu o domínio para t<0.
  • A equação é de primeira ordem (aparece só y' e y).
  • A condição inicial é em t=-1, que está dentro do domínio t<0.]

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividir por t^{3}, que é diferente de zero quando t<0):
t^{3}y'+4t^{2}y=e^{-t}
Dividindo por t^{3}:
y'+\frac{4}{t}y=\frac{e^{-t}}{t^{3}},\qquad (t<0).
Explicação didática do passo: a forma padrão é y'+p(t)y=q(t). Aqui p(t)=\dfrac{4}{t} e q(t)=\dfrac{e^{-t}}{t^{3}}. Colocar a equação nessa forma facilita aplicar o método do fator integrante (integrating factor), que é o método mais direto para equações lineares de primeira ordem.

Passo 3

Construir o fator integrante \mu(t). Regra: para a equação y'+p(t)y=q(t), toma-se
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Aqui p(t)=\dfrac{4}{t}, então
\int p(t)\,dt=\int \frac{4}{t}\,dt=4\ln|t|.
Portanto
\mu(t)=\exp\!\big(4\ln|t|\big)=|t|^{4}.
Comentário sobre o domínio: como estamos trabalhando com t<0, tem-se |t|=-t, mas |t|^{4}=(-t)^{4}=t^{4} (potência par). Assim podemos usar \mu(t)=t^{4} para t<0.
Motivação do fator integrante (mini-aula): multiplicando a equação padrão por \mu(t) transforma-se o lado esquerdo em uma derivada de produto:
\mu(t)\big(y'+p(t)y\big)=(\mu(t)y)'.
Isso acontece porque (\mu y)'=\mu y'+\mu' y e \mu' foi escolhido para que \mu'=\mu p, o que é equivalente a \mu'/\mu=p, i.e. \ln\mu=\int p.

Passo 4

Multiplicar a equação na forma padrão por \mu(t)=t^{4}:
t^{4}\Big(y'+\frac{4}{t}y\Big)=t^{4}\cdot\frac{e^{-t}}{t^{3}}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
(t^{4}y)'=t e^{-t}.
Explicação: de fato (t^{4}y)'=t^{4}y'+4t^{3}y, que coincide com t^{4}y'+t^{4}\cdot\frac{4}{t}y.

Passo 5

Integrar ambos os lados em função de t:
\int (t^{4}y)' \,dt = \int t e^{-t}\,dt.
Isso dá
t^{4}y = \int t e^{-t}\,dt + C,
onde C é constante de integração.
Agora calcular a integral \int t e^{-t}\,dt. Fazer por partes: escolha u=t (então du=dt) e dv=e^{-t}dt (então v=-e^{-t}). A fórmula de integração por partes é \int u\,dv = uv - \int v\,du. Aplicando:
\int t e^{-t}\,dt = u v - \int v\,du = -t e^{-t} - \int(-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}\,dt.
E \int e^{-t}\,dt = -e^{-t}. Logo
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + \text{const} = -(t+1)e^{-t} + \text{const}.
Substituindo na expressão para t^{4}y:
t^{4}y = - (t+1)e^{-t} + C.

Passo 6

Impor a condição inicial y(-1)=0 para determinar C. Substituir t=-1 e y(-1)=0 na expressão:
(-1)^{4}\cdot 0 = -((-1)+1)e^{-(-1)} + C.
Calcular termos: (-1)+1=0, então o primeiro termo à direita é zero. Também (-1)^{4}=1. Portanto
0 = 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
Então a solução particular que satisfaz a condição é
t^{4}y = - (t+1)e^{-t}.
Isolando y:
y(t)= -\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\qquad t<0.

Passo 7

Breve verificação e comentário final: a solução encontrada está definida para t<0 (não se divide por zero), e satisfaz y(-1)= -\dfrac{0\cdot e^{1}}{(-1)^{4}}=0 como pedido. Se quiser, pode-se derivar y e substituir na equação original para checar algebraicamente que a igualdade é válida — procedimento padrão para verificar soluções de EDO.

Resposta

y(t)=-\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\qquad t<0

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