Resolva os PVI’s abaixo;
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pela condição inicial. Escrevendo exatamente o que foi dado:
O que pede: encontrar a função
definida para
que satisfaz a equação diferencial e a condição
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação contém fatores em
, portanto é singular; o enunciado já restringiu o domínio para . - A equação é de primeira ordem (aparece só
e ). - A condição inicial é em
, que está dentro do domínio .]
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividir por
, que é diferente de zero quando
):
Dividindo por
:
Explicação didática do passo: a forma padrão é
. Aqui
e
. Colocar a equação nessa forma facilita aplicar o método do fator integrante (integrating factor), que é o método mais direto para equações lineares de primeira ordem.
Passo 3
Construir o fator integrante
. Regra: para a equação
, toma-se
Aqui
, então
Portanto
Comentário sobre o domínio: como estamos trabalhando com
, tem-se
, mas
(potência par). Assim podemos usar
para
.
Motivação do fator integrante (mini-aula): multiplicando a equação padrão por
transforma-se o lado esquerdo em uma derivada de produto:
Isso acontece porque
e
foi escolhido para que
, o que é equivalente a
, i.e.
.
Passo 4
Multiplicar a equação na forma padrão por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Explicação: de fato
, que coincide com
.
Passo 5
Integrar ambos os lados em função de
:
Isso dá
onde
é constante de integração.
Agora calcular a integral
. Fazer por partes: escolha
(então
) e
(então
). A fórmula de integração por partes é
. Aplicando:
E
. Logo
Substituindo na expressão para
:
Passo 6
Impor a condição inicial
para determinar
. Substituir
e
na expressão:
Calcular termos:
, então o primeiro termo à direita é zero. Também
. Portanto
Então a solução particular que satisfaz a condição é
Isolando
:
Passo 7
Breve verificação e comentário final: a solução encontrada está definida para
(não se divide por zero), e satisfaz
como pedido. Se quiser, pode-se derivar
e substituir na equação original para checar algebraicamente que a igualdade é válida — procedimento padrão para verificar soluções de EDO.