O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = -\sin x + \cos x, \quad y(0)=0,\;y'(0)=-1,\;y''(0)=-1,\;y'''(0)=7.
O método é integrar sucessivamente essa EDO de ordem 4, introduzindo constantes de integração a cada passo e depois usar as condições iniciais para determiná-las.
Passo 2
Integramos a quarta derivada para obter a terceira:
\frac{d^{3}y}{dx^{3}} = \int\bigl(-\sin x+\cos x\bigr)\,dx = \cos x + \sin x + C_{1}.
Em x=0 temos \cos0+\sin0+C_{1}=1+0+C_{1}=y'''(0)=7,
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C_{1}=6.
Passo 3
Agora integramos a terceira derivada para achar a segunda:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \int\bigl(\cos x+\sin x+6\bigr)\,dx = \sin x - \cos x + 6x + C_{2}.
Em x=0 vale \sin0-\cos0+0+C_{2}=0-1+C_{2}=y''(0)=-1,
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C_{2}=0.
Passo 4
Integramos a segunda derivada para obter a primeira:
y' = \int\bigl(\sin x - \cos x + 6x\bigr)\,dx = -\cos x - \sin x + 3x^{2} + C_{3}.
Em x=0 temos -\cos0-\sin0+0+C_{3}=-1-0+C_{3}=y'(0)=-1,
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C_{3}=0.
Passo 5
Finalmente, integramos y' para chegar em y:
y = \int\bigl(-\cos x - \sin x + 3x^{2}\bigr)\,dx = -\sin x + \cos x + x^{3} + C_{4}.
Em x=0 vale -\sin0+\cos0+0+C_{4}=0+1+C_{4}=y(0)=0,
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