Resolva PVI
\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=2-6 x \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=4\end{array}\right.

Passo 1

Beleza, temos o PVI
y'' = 2 - 6x, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 4.
É uma equação de segunda ordem com termo polinomial. Vamos integrar duas vezes e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Integramos primeiro:
y' = \int(2 - 6x)\,dx = 2x - 3x^2 + C_1.
Depois integramos de novo:
y = \int(2x - 3x^2 + C_1)\,dx = x^2 - x^3 + C_1 x + C_2.

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais. De y'(0)=4 obtemos
C_1 = 4.
De y(0)=1 obtemos
C_2 = 1.

Resposta

y(x) = -x^3 + x^2 + 4x + 1.

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