Resolva o PVI:
y^prime=e^-y t, y(0)=ln (0+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por y'=e^-y,t com condição y(0)=ln(0+1). O conteúdo é EDO de variáveis separáveis e precisamos saber como separar e integrar.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. Temos dfracdydt=t,e^-y, então multiplicamos em cruz para obter e^y,dy=t,dt.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Integrais:
integral e^y,dy=integral t,dt
O que dá
e^y=t^22+C

Passo 4

Usamos a condição inicial para achar C. Em t=0, y=ln1=0, logo
e^0=1=0^22+Cimplies C=1

Passo 5

Portanto a solução implícita é e^y=1+tfract^22. Para obter y, aplicamos o ln:
y=lnl(1+t^22r)

Resposta

y(t)=lnl(1+tfract^22r)

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