Resolva os PVI’s abaixo usando Transformada de Laplace.
(b) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
\begin{cases} y'' + 3\,y' + 2\,y = 0,\\\ y(0)=1,\;y'(0)=0 \end{cases}
usando transformada de Laplace. Esse é um problema de EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos transformar a equação no domínio de s, resolver para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO, lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s),
e \mathcal{L}\{0\}(s)=0. Assim:
\bigl[s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr] +3\bigl[s\,Y(s)-y(0)\bigr] +2\,Y(s)=0.

Passo 3

Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0 na equação de Y(s):
s^2Y(s)-s\cdot1-0 +3\bigl(s\,Y(s)-1\bigr) +2\,Y(s)=0
\bigl(s^2+3s+2\bigr)Y(s)-s-3=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s+3}{s^2+3s+2}.
O denominador fatoriza como (s+1)(s+2).

Passo 4

Fazemos frações parciais em
Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando em comum:
s+3 = A(s+2)+B(s+1) = (A+B)\,s + (2A+B).
Comparando coeficientes:
A+B=1,\quad 2A+B=3 \quad\Longrightarrow\quad A=2,\;B=-1.
Logo
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Invertendo cada termo pela transformada conhecida \mathcal{L}^{-1}\{1/(s+a)\}=e^{-a t}, obtemos
y(t)=2\,e^{-1\cdot t}-1\cdot e^{-2\cdot t} =2e^{-t}-e^{-2t}.

Resposta

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}.

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