Resolva os PVI’s abaixo usando Transformada de Laplace.
(a) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.

Passo 1

Temos o PVI
\begin{cases} y'' - y' - 6y = 0,\\\ y(0)=1,\quad y'(0)=-1. \end{cases}
O objetivo é resolver usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial, obtemos
\mathcal{L}\{y''\}(s)\;-\;\mathcal{L}\{y'\}(s)\;-\;6\,\mathcal{L}\{y\}(s)\;=\;0.
Substituindo as expressões para as derivadas e as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=-1, vem
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-(-1)\bigr)\;-\;\bigl(sY(s)-1\bigr)\;-\;6Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:
s^2Y(s)-s+1 \;-\;sY(s)+1 \;-\;6Y(s)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,(s^2 - s - 6)\;+\;(-s+2)\;=\;0.
Isolando Y(s), fica
Y(s) \;=\;\frac{s-2}{s^2 - s - 6}.

Passo 4

Fatoramos o polinômio do denominador:
s^2 - s - 6 = (s-3)(s+2).
Fazendo a decomposição em frações parciais, buscamos A e B tais que
\frac{s-2}{(s-3)(s+2)} =\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2}.
Isso leva ao sistema
A+B=1, \quad 2A - 3B = -2,
cuja solução é A=\tfrac{1}{5}, B=\tfrac{4}{5}. Logo
Y(s) =\frac{1/5}{s-3} \;+\;\frac{4/5}{s+2}.

Passo 5

Usando a transformada inversa conhecida
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}(t)=e^{a t}, obtemos
y(t) =\frac{1}{5}e^{3t} +\frac{4}{5}e^{-2t}.

Resposta

y(t)=\frac{1}{5}e^{3t}+\frac{4}{5}e^{-2t}.

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