Resolva os PVI’s abaixo usando Transformada de Laplace.
(c) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\cos t \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' - 2y' + 2y = \cos t,\\\ y(0)=1,\;y'(0)=0, \end{cases}
usando a transformada de Laplace. O conteúdo é a aplicação da transformada de Laplace em equações diferenciais lineares de ordem 2 com coeficientes constantes e condições iniciais, usando as fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação. Como \mathcal{L}\{\cos t\}={s}/{(s^2+1)}, obtemos
\bigl[s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr]-2\bigl[sY(s)-y(0)\bigr]+2Y(s) =\frac{s}{s^2+1}.
Substituindo y(0)=1 e y'(0)=0, fica
s^2Y(s)-s -2sY(s)+2 +2Y(s)=\frac{s}{s^2+1}.

Passo 3

Agrupando os termos que envolvem Y(s) e isolando Y(s), temos
\bigl(s^2-2s+2\bigr)Y(s)=\frac{s}{s^2+1}+s-2,
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Y(s) =\frac{s}{(s^2+1)(s^2-2s+2)}+\frac{s-2}{s^2-2s+2}.

Passo 4

Para inverter Y(s), escrevemos
\frac{s-2}{s^2-2s+2} =\frac{s-1}{(s-1)^2+1}-\frac{1}{(s-1)^2+1},
cuja transformada inversa é
\displaystyle e^t\cos t - e^t\sin t.
E para
\displaystyle \frac{s}{(s^2+1)\bigl((s-1)^2+1\bigr)}
fazemos frações parciais do tipo
\frac{s}{(s^2+1)\bigl((s-1)^2+1\bigr)} =\frac{\tfrac{1}{5}s-\tfrac{2}{5}}{s^2+1} +\frac{-\tfrac{1}{5}(s-1)+\tfrac{3}{5}}{(s-1)^2+1}.
Invertendo, obtemos
\tfrac{1}{5}\cos t-\tfrac{2}{5}\sin t -\tfrac{1}{5}e^t\cos t+\tfrac{3}{5}e^t\sin t.
Somando tudo, a solução é
y(t) =\Bigl(\tfrac{1}{5}\cos t-\tfrac{2}{5}\sin t\Bigr) +\Bigl(e^t\cos t - e^t\sin t\Bigr) -\tfrac{1}{5}e^t\cos t+\tfrac{3}{5}e^t\sin t.
Agrupando termos semelhantes,
y(t) =\frac{1}{5}\cos t-\frac{2}{5}\sin t +\frac{4}{5}e^t\cos t-\frac{2}{5}e^t\sin t.

Resposta

y(t) =\frac{1}{5}\cos t-\frac{2}{5}\sin t +\frac{4}{5}e^t\cos t-\frac{2}{5}e^t\sin t.

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