Resolva os PVI’s abaixo usando Transformada de Laplace.
(d) \left\{\begin{array}{l}y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O problema é o PVI
y^{(4)} - 4y^{(3)} + 6y'' -4y' + y = 0
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=0,\quad y^{(3)}(0)=1.
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO, usar as fórmulas
\mathcal{L}\{y^{(n)}\}(s)=s^nY(s)-s^{n-1}y(0)-\cdots -y^{(n-1)}(0),
e depois inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplico a transformada de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}-4\mathcal{L}\{y^{(3)}\} +6\mathcal{L}\{y''\}-4\mathcal{L}\{y'\}+\mathcal{L}\{y\}=0.
Usando condições iniciais:
\begin{aligned} \mathcal{L}\{y^{(4)}\}&=s^4Y(s)-s^3\cdot0-s^2\cdot1-s\cdot0-1=s^4Y(s)-s^2-1,\\\ \mathcal{L}\{y^{(3)}\}&=s^3Y(s)-s^2\cdot0-s\cdot1-0=s^3Y(s)-s,\\\ \mathcal{L}\{y''\}&=s^2Y(s)-s\cdot0-1=s^2Y(s)-1,\\\ \mathcal{L}\{y'\}&=sY(s)-0=sY(s),\quad \mathcal{L}\{y\}=Y(s). \end{aligned}
Substituindo na EDO transformada:
(s^4Y -s^2-1)-4(s^3Y -s)+6(s^2Y -1)-4(sY)+Y=0.
Agrupando Y(s) e os termos livres:
(s^4 -4s^3+6s^2-4s+1)Y(s)\;+\;(-s^2-1+4s-6)=0.
Como s^4 -4s^3+6s^2-4s+1=(s-1)^4, obtemos
(s-1)^4\,Y(s)=s^2-4s+7,
logo
Y(s)=\frac{s^2-4s+7}{(s-1)^4}.

Passo 3

Fazemos frações parciais em
\frac{s^2-4s+7}{(s-1)^4} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{(s-1)^2}+\frac{C}{(s-1)^3}+\frac{D}{(s-1)^4}.
Multiplicando por (s-1)^4 e comparando coeficientes, encontra-se
A=0,\quad B=1,\quad C=-2,\quad D=4.
Portanto
Y(s)=\frac{1}{(s-1)^2}-\frac{2}{(s-1)^3}+\frac{4}{(s-1)^4}.

Passo 4

Usamos as transformadas inversas padrão:
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s-1)^2}\biggr\}=te^{t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s-1)^3}\biggr\}=\frac{t^2}{2}e^{t},\quad \mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s-1)^4}\biggr\}=\frac{t^3}{6}e^{t}.
Assim
y(t)=e^{t}\Bigl(t\Bigr)\;-\;2\,e^{t}\Bigl(\tfrac{t^2}{2}\Bigr)\;+\;4\,e^{t}\Bigl(\tfrac{t^3}{6}\Bigr) =e^{t}\bigl(t - t^2 + \tfrac{2}{3}t^3\bigr).

Resposta

y(t)=e^{t}\Bigl(t - t^2 + \tfrac{2}{3}t^3\Bigr).

Exercícios relacionados