Resolva os PVI’s abaixo usando Transformada de Laplace.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o PVI
O conteúdo é solução de EDO linear com coeficientes constantes e termo não homogêneo deslocado. Para usar Laplace de forma direta, vamos primeiro “zerar” as condições iniciais trocando a origem de tempo.
Passo 2
Definimos a nova variável
e a função
Então
e as condições iniciais em
são
Em
, a EDO fica
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em
. Seja
. Temos
Substituindo na EDO:
Passo 4
Agrupando os termos em
e os constantes, obtemos
logo
Passo 5
Para inverter cada parcela, reescrevemos
- A segunda parcela é
Sabemos que
Logo essa parte inverte para
- A primeira parcela é
e, por teorema da convolução, sua inversa é
Fazendo essa integral (ou comparando com método de coeficientes) obtém-se
mas ao somar com a parte 2 cancela-se o que sobressai, restando
Portanto
onde usamos nos ajustes
e
para satisfazer
,
.
Resposta
Voltando a
, a solução final é