Resolva os PVI’s abaixo usando Transformada de Laplace.
(f) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\cos t \\\ y(2)=1, y^{\prime}(2)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema é resolver, pelo método da Transformada de Laplace, o PVI
\begin{cases} y''(t)-2y'(t)+2y(t)=\cos t,\\\ y(2)=1,\quad y'(2)=0. \end{cases}
O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com condição inicial fora de t=0. Para usar Laplace, vamos recuar a origem até t=2.

Passo 2

Defina a nova função
u(\tau)=y(\tau+2),
de modo que \tau=0 corresponda a t=2. Então
u(0)=y(2)=1, \quad u'(0)=y'(2)=0,
e as derivadas são
u'(\tau)=y'(\tau+2), \quad u''(\tau)=y''(\tau+2).
A EDO fica
u''(\tau)-2u'(\tau)+2u(\tau)=\cos(\tau+2).

Passo 3

Expresse \cos(\tau+2) em termos de \tau:
\cos(\tau+2)=\cos\tau\cos2-\sin\tau\sin2.

Passo 4

Aplique a Transformada de Laplace \mathcal L\{\cdot\}=\int_0^\infty e^{-s\tau}(\cdot)\,d\tau. Denote U(s)=\mathcal L\{u(\tau)\}. Usando
\mathcal L\{u''\}=s^2U(s)-su(0)-u'(0), \quad \mathcal L\{u'\}=sU(s)-u(0),
temos
[s^2U(s)-s\cdot1-0] -2[sU(s)-1]+2U(s) =\mathcal L\{\cos\tau\}\cos2-\mathcal L\{\sin\tau\}\sin2.
Como \mathcal L\{\cos\tau\}=\dfrac{s}{s^2+1} e \mathcal L\{\sin\tau\}=\dfrac{1}{s^2+1}, obtemos
(s^2-2s+2)U(s)-s+2 =\frac{s\cos2}{s^2+1}-\frac{\sin2}{s^2+1}.

Passo 5

Isole U(s):
U(s) =\frac{s-2}{s^2-2s+2} +\frac{s\cos2-\sin2}{(s^2+1)(s^2-2s+2)}.
Para inverter, note que s^2-2s+2=(s-1)^2+1. Separe em parcelas simples:
  1. \dfrac{s-2}{(s-1)^2+1} =\dfrac{(s-1)}{(s-1)^2+1}-\dfrac{1}{(s-1)^2+1}.
  2. \dfrac{s\cos2-\sin2}{(s^2+1)[(s-1)^2+1]} decompõe com parc. simples em termos de \dfrac{s}{s^2+1}, \dfrac{1}{s^2+1}, \dfrac{s-1}{(s-1)^2+1}, \dfrac{1}{(s-1)^2+1}.

Passo 6

Fazendo a decomposição (pulei cálculos algébricos longos) e invertendo cada termo, chega-se a
u(\tau) =e^{\tau}\bigl(\cos\tau-\sin\tau\bigr) +\cos2\;\sin\tau -\sin2\;\cos\tau.

Passo 7

Volte à variável original: \tau=t-2. Então
y(t) =u(t-2) =e^{\,t-2}\bigl[\cos(t-2)-\sin(t-2)\bigr] +\cos2\,\sin(t-2) -\sin2\,\cos(t-2).

Resposta

y(t) =e^{\,t-2}\bigl[\cos(t-2)-\sin(t-2)\bigr] +\cos2\,\sin(t-2) -\sin2\,\cos(t-2).

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