Resolva os PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=\delta_{\pi}(t) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 2y = \delta_{\pi}(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem com forçamento por impulso de Dirac em t=\pi. Vamos usar a transformada de Laplace para obter Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e depois inverter.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0), \mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{\delta_{\pi}(t)\}=e^{-\pi s}, obtemos
s^2Y(s) + 2\bigl(sY(s)\bigr) + 2Y(s) \;=\; e^{-\pi s}.

Passo 3

Fatorando Y(s) no lado esquerdo,
\bigl(s^2 + 2s + 2\bigr)\,Y(s) \;=\; e^{-\pi s},
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Y(s) \;=\;\frac{e^{-\pi s}}{s^2 + 2s + 2} \;=\;\frac{e^{-\pi s}}{(s+1)^2 + 1}.

Passo 4

Reconhecemos que
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac{1}{(s+1)^2+1}\biggr\} = e^{-t}\sin t,\quad t\ge0.
Pela propriedade de deslocamento no tempo,
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{e^{-\pi s}F(s)\bigr\} = u(t-\pi)\,f(t-\pi).
Assim,
y(t) = u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr).

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & t<\pi,\\\ e^{-(t-\pi)}\sin\bigl(t-\pi\bigr), & t\ge\pi. \end{cases}

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