Resolva os PVI’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\delta_{5}(t)+u_{10}(t) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=\frac{1}{2}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y''(t)+3\,y'(t)+2\,y(t)=\delta_{5}(t)+u_{10}(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=\tfrac12,
ou seja, uma EDO linear com coeficientes constantes e forçantes do tipo impulso de Dirac e degrau. Para resolver vamos usar transformada de Laplace, aproveitando que
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),\quad \mathcal L\{\delta_{a}(t)\}=e^{-a s},\quad \mathcal L\{u_{a}(t)\}=\frac{e^{-a s}}{s}.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados da equação, chamando Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}, obtemos
s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)+3\bigl[sY(s)-y(0)\bigr]+2Y(s) =\;e^{-5s}+\frac{e^{-10s}}{s}.
Como y(0)=0 e y'(0)=\tfrac12, isso vira
(s^2+3s+2)\,Y(s)-\tfrac12 =\;e^{-5s}+\frac{e^{-10s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s) temos
Y(s) =\frac{\tfrac12}{(s+1)(s+2)} +\frac{e^{-5s}}{(s+1)(s+2)} +\frac{e^{-10s}}{s\,(s+1)(s+2)}.
Chamamos as três parcelas de Y_1(s), Y_2(s) e Y_3(s), respectivamente.

Passo 4

Para inverter cada parcela, fazemos frações parciais:
1. Y_1(s)=\displaystyle\frac{\tfrac12}{(s+1)(s+2)} =\tfrac12\Bigl[\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\Bigr]. 2. Y_2(s)=\displaystyle\frac{e^{-5s}}{(s+1)(s+2)} =e^{-5s}\Bigl[\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}\Bigr]. 3. Y_3(s)=\displaystyle\frac{e^{-10s}}{s(s+1)(s+2)}
e
\frac{1}{s(s+1)(s+2)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2},
com A=\tfrac12, B=-1, C=\tfrac12. Logo
Y_3(s) =e^{-10s}\Bigl[\tfrac12\frac1s -\frac1{s+1}+\tfrac12\frac1{s+2}\Bigr].

Passo 5

Invertendo Y_1(s):
y_1(t) =\frac12\bigl[e^{-t}-e^{-2t}\bigr],\quad t\ge0.

Passo 6

Invertendo Y_2(s) via deslocamento no tempo:
y_2(t) =u(t-5)\bigl[e^{-(t-5)}-e^{-2(t-5)}\bigr].

Passo 7

Invertendo Y_3(s) de modo similar:
y_3(t) =u(t-10)\Bigl[\tfrac12 -e^{-(t-10)}+\tfrac12e^{-2(t-10)}\Bigr].

Passo 8

Somando as três partes, a solução completa é
y(t)=y_1(t)+y_2(t)+y_3(t),
ou seja, de forma peça–por–peça:
  • Para 0\le t<5:
    y(t)=\tfrac12\bigl[e^{-t}-e^{-2t}\bigr].
  • Para 5\le t<10:
    y(t)=\tfrac12\bigl[e^{-t}-e^{-2t}\bigr] +\bigl[e^{-(t-5)}-e^{-2(t-5)}\bigr].
  • Para t\ge10:
    y(t)=\tfrac12\bigl[e^{-t}-e^{-2t}\bigr] +\bigl[e^{-(t-5)}-e^{-2(t-5)}\bigr] +\Bigl[\tfrac12 -e^{-(t-10)}+\tfrac12e^{-2(t-10)}\Bigr].

Resposta

Para resumir,
y(t)= \begin{cases} \tfrac{1}{2}\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr), & 0\le t<5,\\[6pt] \tfrac{1}{2}\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) +\bigl(e^{-(t-5)}-e^{-2(t-5)}\bigr), & 5\le t<10,\\[6pt] \tfrac{1}{2}\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr) +\bigl(e^{-(t-5)}-e^{-2(t-5)}\bigr) +\Bigl(\tfrac{1}{2} -e^{-(t-10)}+\tfrac{1}{2}e^{-2(t-10)}\Bigr), & t\ge10. \end{cases}]

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