O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + y = f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1,
onde
f(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t < 3\pi,\\\\ 0, & t \ge 3\pi. \end{cases}
O conteúdo é solução de equação diferencial linear de segunda ordem com termo forçante em regime piecewise. Vamos usar o princípio de superposição: para cada região onde f é constante, somamos solução geral da homogênea com uma particular constante, aplicamos condições iniciais na primeira região e condições de continuidade em t=3\pi para obter a solução na segunda região.
Passo 2
Na região 0 \le t < 3\pi, temos y''+y=1.
A equação homogênea é y_h''+y_h=0 com solução
y_h(t)=A\cos t + B\sin t.
Procuramos uma solução particular constante y_p=C. Substituindo em y''+y=1 dá
0 + C = 1 \implies C = 1.
Logo a solução geral nesta região é
y(t)=A\cos t + B\sin t + 1.
Impondo as condições y(0)=0 e y'(0)=1:y(0)=A\cdot1 + B\cdot0 + 1 = 0 \implies A=-1,
y'(t) = -A\sin t + B\cos t \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=B=1.
Portanto, para 0\le t<3\pi,
\boxed{y(t) = -\cos t + \sin t + 1.}
Passo 3
Para t\ge3\pi, o forçamento é nulo e temos a homogênea
y''+y=0,
cuja solução geral é
y(t)=C\cos t + D\sin t.
Precisamos de y e y' contínuas em t=3\pi.
Avaliando da solução do passo 2 em t=3\pi:y(3\pi^-)= -\cos(3\pi)+\sin(3\pi)+1 = -(-1)+0+1 = 2,
y'(t) = \sin t + \cos t \quad\Longrightarrow\quad y'(3\pi^-) = 0 + (-1) = -1.