Ache a transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
F(s)=\frac{2 e^{-2 s}}{s^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2\,e^{-2s}}{s^{2}-4}.
Aqui vamos usar dois ingredientes principais: a transformada inversa de \frac{2}{s^{2}-4} e a propriedade de atraso (multiplicação por e^{-as} em s corresponde a um deslocamento em t).

Passo 2

Primeiro, ignoramos o fator de atraso e^{-2s} e calculamos
G(s)=\frac{2}{s^{2}-4}.
Fazemos frações parciais: como s^{2}-4=(s-2)(s+2),
\frac{2}{s^{2}-4} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s+2}.
Resolvendo, obtemos
A=\frac{1}{2},\quad B=-\frac{1}{2},
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G(s) =\frac{1/2}{s-2}-\frac{1/2}{s+2}.
A transformada inversa é
g(t) =\frac{1}{2}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{-2t} =\operatorname{sinh}\bigl(2t\bigr).

Passo 3

Agora reaplicamos o fator de atraso e^{-2s}. A propriedade diz que
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-2s}G(s)\} =g(t-2)\,u(t-2),
onde u(t-2) é o degrau unitário deslocado. Substituindo g, temos
f(t) =\operatorname{sinh}\bigl(2(t-2)\bigr)\,u(t-2).

Resposta

f(t)=u(t-2)\,\operatorname{sinh}\bigl(2(t-2)\bigr).

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