Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0, onde f(t) é t se t<10 e vale 0 se t \geq 10.

Passo 1

O enunciado pede a solução do PVI
y''+3y'+2y=f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde
f(t)= \begin{cases} t,&0\le t<10,\\\\ 0,&t\ge10. \end{cases}
O método mais direto é usar o Princípio de Duhamel (ou convolução) com a resposta ao impulso do sistema homogêneo.

Passo 2

Primeiro achamos a resposta ao impulso do homogêneo
y_h''+3y_h'+2y_h=0,
cuja solução geral é
y_h(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}.
A resposta ao impulso unitário é
h(t)=\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s^2+3s+2}\} =e^{-t}-e^{-2t},\quad t\ge0.
Pelo princípio de Duhamel, para 0\le t<10 temos
y(t) =\int_{0}^{t}h(t-s)\,s\,ds =\int_{0}^{t}\bigl(e^{-(t-s)}-e^{-2(t-s)}\bigr)s\,ds.
Calculando por partes ou usando fórmula padrão
\int_{0}^{t}e^{a s}s\,ds =e^{a t}\Bigl(\frac t a-\frac1{a^2}\Bigr)+\frac1{a^2},
chegamos a
y(t) =e^{-t}\bigl[(t-1)+1\bigr] -e^{-2t}\Bigl[\bigl(\tfrac t2-\tfrac14\bigr)+\tfrac14\Bigr] =\;e^{-t}-\tfrac14e^{-2t}+\tfrac12\,t-\tfrac34.

Passo 3

Para t\ge10, como f(s)=0 para s\ge10, fica
y(t) =\int_{0}^{10}h(t-s)\,s\,ds =\int_{0}^{10}\bigl(e^{-(t-s)}-e^{-2(t-s)}\bigr)s\,ds.
De modo análogo obtemos
y(t) =(1+9e^{10})\,e^{-t} -\Bigl(\tfrac14+ \tfrac{19}{4}e^{20}\Bigr)\,e^{-2t}.

Resposta

Para todo t\ge0,
y(t)= \begin{cases} e^{-t}-\tfrac{1}{4}e^{-2t}+\tfrac{1}{2}\,t-\tfrac{3}{4}, &0\le t<10,\\[6pt] (1+9e^{10})\,e^{-t} -\bigl(\tfrac{1}{4}+\tfrac{19}{4}e^{20}\bigr)\,e^{-2t}, &t\ge10. \end{cases}]

Exercícios relacionados