Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}+y=f(t), \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, onde f(t) é 1 se t<1 e vale 0 se t \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1
onde
f(t)=\begin{cases} 1,&t<1,\\\\ 0,&t\ge1. \end{cases}
O método será resolver o EDO em cada intervalo [0,1) e [1,\infty), usando coeficientes indeterminados em cada parte, e em seguida impor continuidade de y e y' em t=1.

Passo 2

Para 0\le t<1, temos forçamento constante f(t)=1. Buscamos
y_1(t)=y_h(t)+y_p
com solução geral do homogêneo y_h(t)=A\cos t+B\sin t e particular constante y_p=1 (pois 0+1=1). Logo
y_1(t)=A\cos t+B\sin t+1.
Impondo y(0)=0 e y'(0)=1:
y_1(0)=A+0+1=0\quad\Longrightarrow\quad A=-1,
y_1'(t)=-A\sin t+B\cos t\quad\Longrightarrow\quad y_1'(0)=B=1.
Portanto
y_1(t)=-\cos t+\sin t+1,\quad 0\le t<1.

Passo 3

Calculamos os valores em t=1 que servirão de condições iniciais para o segundo trecho:
y_1(1)=-\cos1+\sin1+1,
y_1'(t)=\sin t+\cos t \quad\Longrightarrow\quad y_1'(1)=\sin1+\cos1.

Passo 4

Para t\ge1, o forçamento é zero, então
y_2(t)=C\cos t+D\sin t.
Impondo em t=1 continuidade de y e y':
C\cos1+D\sin1=-\cos1+\sin1+1,
-y'_2(t)=-(-C\sin t+D\cos t)\Big|_{t=1}\;\Longrightarrow\;-C\sin1+D\cos1=\sin1+\cos1.
Resolvendo esse sistema obtém-se
C=\cos1-1,\quad D=1+\sin1.
Logo
y_2(t)=(\cos1-1)\cos t+(1+\sin1)\sin t,\quad t\ge1.

Resposta

Para todo t\ge0,
y(t)=\begin{cases} -\cos t+\sin t+1, &0\le t<1,\\\ (\cos1-1)\cos t+(1+\sin1)\sin t, &t\ge1. \end{cases}

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