Resolva os PVI’s:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 \operatorname{sen}(3 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
y'' + 2y' + y = 2\sin(3t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma particular para a não-homogênea.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea y''+2y'+y=0 é
r^2 + 2r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+1)^2 = 0,
com raiz dupla r=-1. Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}.

Passo 3

Para a parte não-homogênea de termo certo 2\sin(3t)\), supomos \[y_p(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t).
Então
y_p' = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t), \quad y_p'' = -9A\cos(3t) - 9B\sin(3t).
Substituindo em y''+2y'+y obtemos
(-9A+6B+A)\cos(3t) +(-9B-6A+B)\sin(3t) =2\sin(3t).
Isso gera o sistema
\begin{cases} -8A + 6B = 0,\\\\ -6A - 8B = 2. \end{cases}
Da primeira equação (6B=8A\implies B=\tfrac{4}{3}A]. Na segunda:
-6A -8\Bigl(\tfrac{4}{3}A\Bigr)=2 \;\Longrightarrow\;-6A - \tfrac{32}{3}A = 2 \;\Longrightarrow\;-\tfrac{50}{3}A=2 \;\Longrightarrow\;A=-\tfrac{3}{25},
B=\tfrac{4}{3}\Bigl(-\tfrac{3}{25}\Bigr)=-\tfrac{4}{25}.
Logo
y_p(t) = -\tfrac{3}{25}\cos(3t) - \tfrac{4}{25}\sin(3t).

Passo 4

A solução geral da EDO é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t} - \tfrac{3}{25}\cos(3t) - \tfrac{4}{25}\sin(3t).

Passo 5

Agora usamos as condições iniciais. Para y(0)=0:
y(0)=C_1 - \tfrac{3}{25}=0 \;\Longrightarrow\;C_1=\tfrac{3}{25}.
Para y'(t) calculamos
y'(t)=-C_1 e^{-t}+C_2 e^{-t}-C_2 t e^{-t} +\tfrac{9}{25}\sin(3t)-\tfrac{12}{25}\cos(3t),
então em t=0:
y'(0)=-C_1 + C_2 - \tfrac{12}{25} =0 \;\Longrightarrow\; -\tfrac{3}{25} + C_2 - \tfrac{12}{25}=0 \;\Longrightarrow\;C_2=\tfrac{15}{25}=\tfrac{3}{5}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral,
y(t) = \tfrac{3}{25}e^{-t} + \tfrac{3}{5}\,t\,e^{-t} - \tfrac{3}{25}\cos(3t) - \tfrac{4}{25}\sin(3t).

Resposta

y(t)=\frac{3}{25}e^{-t}+\frac{3}{5}\,t\,e^{-t} -\frac{3}{25}\cos(3t)-\frac{4}{25}\sin(3t).

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