Resolva os PVI’s: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=2 \operatorname{sen}(3 t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI
y'' + 2y' + y = 2\sin(3t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma particular para a não-homogênea.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea y''+2y'+y=0 é
r^2 + 2r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+1)^2 = 0,
com raiz dupla r=-1. Logo a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-t} + C_2\,t\,e^{-t}.
Passo 3
Para a parte não-homogênea de termo certo 2\sin(3t)\), supomos
\[y_p(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t).