Resolva os PVIs:
6.3 y^prime+y=cos (x), y(0)=1 / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI 6.3,y'+y=cos(x) com condição inicial y(0)=1/2. Este é um PVI de equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar fator integrante para achar a solução.

Passo 2

Colocamos a eq. diferencial na forma padrão y'+p(x)y=q(x). Dividindo tudo por 6.3 obtemos
y'+16.3y=16.3cos(x)
Aqui p(x)=1/6.3 e q(x)=cos(x)/6.3.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral16.3dx=e^x/6.3 Multiplicamos a equação por mu(x):
ddxl(y,e^x/6.3r)=16.3e^x/6.3cos(x)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
y,e^x/6.3=integral16.3e^x/6.3cos(x),dx + C
Usando a fórmula integral e^axcos(x),dx=e^ax(acos x+sin x)a^2+1 com a=1/6.3, chegamos a
y,e^x/6.3=e^x/6.3l(tfrac16.3cos x+sin xr)(1/6.3)^2+1+C
Dividindo por e^x/6.3 dá a solução geral
y(x)=cos x+6.3sin x1+(6.3)^2+C,e^-x/6.3

Passo 5

Usamos y(0)=1/2. Em x=0 temos
cos0+6.3sin01+6.3^2+C=11+6.3^2+C=tfrac12
Logo
C=12-11+6.3^2
Substituindo em y(x) obtemos a solução particular do PVI.

Resposta

y(x)=cos x+6.3sin x1+(6.3)^2+l(tfrac12-tfrac11+(6.3)^2r)e^-x/6.3

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