JUSTIFIQUE E REDIJA ADEQUADAMENTE TODAS AS SUAS SOLUÇÕES.
Para cada caso abaixo, calcule a(s) derivada(s) parcial(is) indicadas:
f(x, y)=x^2 y cos (x-y)+ln (x^2+y^2) ; partial fpartial x e partial fpartial y;

Passo 1

Estamos lidando com a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2ycos(x-y)+lnl(x^2+y^2r),
o conteúdo principal aqui envolve derivação parcial, aplicando a regra do produto, a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, escrevemos f=u+v, onde
$$u(x,y)=x^{2}y\cos(x-y),\qquad v(x,y)=\ln\bigl(x{2}+y{2}\bigr).
$$
Derivando u(x,y)=x^2ycos(x-y), v(x,y)=lnl(x^2+y^2r) em relação a u usamos a regra do produto entre x e x^2y:
- cos(x-y).
- partialpartial x[x^2y]=2xy pela regra da cadeia.
Logo,
$$\frac{\partial u}{\partial x}=2xy\cos(x-y)+x{2}y\bigl(-\sin(x-y)\bigr)=2xy\cos(x-y)-x{2}y\sin(x-y).
partialpartial x[cos(x-y)]=-sin(x-y)cdot1\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{x{2}+y{2}}\cdot2x=\frac{2x}{x{2}+y{2}}.
partial upartial x=2xycos(x-y)+x^2yl(-sin(x-y)r)=2xycos(x-y)-x^2ysin(x-y) \frac{\partial f}{\partial x}=2xy\cos(x-y)-x{2}y\sin(x-y)+\frac{2x}{x{2}+y^{2}}.
$$

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, partimos de u e v já definidos. Primeiro, em u(x,y)=x^2ycos(x-y):
  • partialpartial y[x^2y]=x^2.
  • partialpartial y[cos(x-y)]=-sin(x-y)cdot(-1)=sin(x-y) pela regra da cadeia.
Então,
$$\frac{\partial u}{\partial y}=x{2}\cos(x-y)+x{2}y\sin(x-y).
partial upartial y=x^2cos(x-y)+x^2ysin(x-y) \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{x{2}+y{2}}\cdot2y=\frac{2y}{x{2}+y{2}}.
v(y)=ln(x^2+y^2)\frac{\partial f}{\partial y}=x{2}\cos(x-y)+x{2}y\sin(x-y)+\frac{2y}{x{2}+y{2}}.
$$

Resposta

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