Resolva as questões abaixo admitindo os valores de base da página 3, sempre que tais dados não forem mencionados no enunciado.
Um determinado diodo pode ser aproximado por uma junção abrupta com N_{A}=3 \times 10^{17} / \mathrm{cm}^{3}, e N_{D}=10^{15} / \mathrm{cm}^{3}. Determine:
a) a tensão de barreira ( V_{0} );
b) o valor de N_{A} se desejarmos alterar a concentração de átomos aceitadores para obter V_{0}=0,8 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (valores em unidades por \mathrm{cm}^{3}, salvo indicação contrária):
  • Concentração de aceitadores: N_{A}=3\times10^{17}.
  • Concentração de dopantes do tipo n: N_{D}=1\times10^{15}.
    Pede-se:
    (a) determinar a tensão de barreira V_{0} da junção abrupta com esses dopamentos;
    (b) determinar o valor de N_{A} que precisamos ter para obter V_{0}=0,8\\ \mathrm{V}, mantendo N_{D}=1\times10^{15}.
Assumirei os valores de base (não fornecidos explicitamente no enunciado) típicos para silício à temperatura ambiente T\approx300\\ \mathrm{K}:
  • concentração intrínseca: n_{i}=1{,}5\times10^{10}\\ \mathrm{cm^{-3}} (valor usual em tabelas);
  • tensão térmica: V_{T}=\dfrac{kT}{q}\approx0{,}02585\\ \mathrm{V}.
    Esses valores são necessários para calcular V_{0} quando não informados.

Passo 2

Relembrando a fórmula que dá a tensão de barreira (potencial de built-in) de uma junção PN abrupta em equilíbrio térmico:
V_{0}=V_{T}\,\ln\!\left(\frac{N_{A}\,N_{D}}{n_{i}^{2}}\right).
Explicação didática dessa fórmula:
  • V_{0} é a diferença de potencial elétrico criada pela redistribuição de portadores na junção PN em equilíbrio. Ela impede difusão adicional de elétrons e lacunas.
  • V_{T}=\dfrac{kT}{q} é a tensão térmica; k é a constante de Boltzmann, T a temperatura absoluta e q a carga do elétron. Para T\approx300\\ \mathrm{K}, V_{T}\approx0{,}02585\\ \mathrm{V}.
  • N_{A} e N_{D} são as concentrações de aceitadores § e doadores (n), em \mathrm{cm^{-3}}.
  • n_{i} é a concentração intrínseca de portadores no semicondutor (em \mathrm{cm^{-3}}). A razão \dfrac{N_A N_D}{n_i^2} mostra quanto as concentrações de dopagem deslocam as concentrações de equilíbrio em relação ao semicondutor intrínseco; quanto maior essa razão, maior V_{0}.
    Matematicamente, a fórmula vem de igualar potenciais eletroquímicos e das expressões de portadores em semicondutor dopado em equilíbrio.

Passo 3

Calcular V_{0} com os dados dados:
Primeiro calculemos o produto N_{A}N_{D} e n_{i}^{2}:
N_{A}N_{D}=(3\times10^{17})\cdot(1\times10^{15})=3\times10^{32}.
n_{i}^{2}=(1{,}5\times10^{10})^{2}=2{,}25\times10^{20}.
Agora a razão:
\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}=\frac{3\times10^{32}}{2{,}25\times10^{20}}=\frac{3}{2{,}25}\times10^{12}=1{,}333\overline{3}\times10^{12}.
Tomando o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}\right)=\ln(1{,}333\overline{3}\times10^{12})=\ln(1{,}333\overline{3})+\ln(10^{12})\approx0{,}28768+27{,}63102=27{,}91870.
Finalmente:
V_{0}=V_{T}\cdot27{,}91870 \approx 0{,}02585\cdot27{,}91870\\ \mathrm{V}\approx0{,}722\\ \mathrm{V}.
Interpretação: com esses níveis de dopagem a barreira de potencial vale aproximadamente 0{,}72\\ \mathrm{V}, valor compatível com expectativas para junções de silício moderadamente dopadas.

Passo 4

Resumo e verificação rápida (checagem de ordens de grandeza):
  • A razão achada é da ordem 10^{12}, o que dá um \ln da ordem de 28; multiplicando por V_{T}\approx0{,}026 obtém-se algo da ordem de 0{,}7\\ \mathrm{V}. Isso confirma coerência numérica e física.

Passo 5

Parte (b): queremos achar N_{A} tal que V_{0}=0{,}8\\ \mathrm{V}, com N_{D}=1\times10^{15} e mesmas constantes. Reorganizamos a fórmula para isolar N_{A}:
V_{0}=V_{T}\ln\!\left(\frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{N_{A}N_{D}}{n_{i}^{2}}=e^{V_{0}/V_{T}}.
Logo
N_{A}=\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}}\,e^{V_{0}/V_{T}}.
Explicação didática: essa solução faz sentido porque aumentar V_{0} exige aumentar a razão \dfrac{N_A N_D}{n_i^2}; mantendo N_D fixo, devemos aumentar N_A exponencialmente com V_{0}.

Passo 6

Calculemos numericamente N_{A}:
Primeiro o expoente:
\frac{V_{0}}{V_{T}}=\frac{0{,}8}{0{,}02585}\approx30{,}95.
Logo
e^{V_{0}/V_{T}}=e^{30{,}95}\approx2{,}763\times10^{13}.
(Lembrete: esse valor foi obtido usando a decomposição em expoentes e checagem por comparação com o caso anterior; é um número grande porque V_{0} é muito maior que V_{T}.)
Agora:
\frac{n_{i}^{2}}{N_{D}}=\frac{2{,}25\times10^{20}}{1\times10^{15}}=2{,}25\times10^{5}.
Multiplicando:
N_{A}=(2{,}25\times10^{5})\cdot(2{,}763\times10^{13})\approx6{,}22\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}.
Interpretação: para obter V_{0}=0{,}8\\ \mathrm{V} com N_{D}=10^{15}\\ \mathrm{cm^{-3}}, seria necessário elevar N_{A} para cerca de 6{,}2\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}, ou seja, um dopamento bastante alto (próximo ao limite de dopagem degenerada em silício).

Passo 7

Observações finais didáticas e recomendações para prova:
  • Sempre verifique se a unidade de n_{i} e de N_{A},N_{D} é a mesma (aqui \mathrm{cm^{-3}}).
  • Lembre-se de usar V_{T}=\dfrac{kT}{q} adequado à temperatura do problema; se não for informado, usar T=300\\ \mathrm{K} é o procedimento padrão.
  • Em problemas onde se pede alterar um dopamento para atingir um certo V_{0}, é comum encontrar que a variação necessária é exponencial, por isso pequenas mudanças em V_{0} podem exigir grandes mudanças em N.

Resposta

(a) V_{0}\approx0{,}722\\ \mathrm{V}
(b) N_{A}\approx6{,}22\times10^{18}\\ \mathrm{cm^{-3}}

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