Quanto tempo seria gasto para descarregar um capacitor de 500 pF de 120 V para 80 V através de um resistor de
Passo 1
O enunciado pede o tempo necessário para que um capacitor de
descarregue de
até
através de um resistor de
. Dados extraídos do enunciado:
-
(picofarads). -
(quiloohms). - tensão inicial
. - tensão final
.
Pergunta: encontrar o tempotal que a tensão no capacitor caia de para .
Passo 2
Entendendo a lei de descarga de um circuito
. Quando um capacitor descarrega através de um resistor, a corrente que sai do capacitor é dada por
e, pela lei de Ohm no resistor, essa mesma corrente é
mas com sinal que indica queda de
. Colocando o sinal corretamente obtemos a equação diferencial
Essa equação descreve que a taxa de variação da tensão é proporcional (e negativa) à própria tensão.
Passo 3
Resolver a equação diferencial. Reorganizando:
A solução dessa equação (equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante) é a decaimento exponencial
onde
é a constante de integração que corresponde à tensão inicial
. Aqui:
-
é a tensão no capacitor no instante . -
e são os valores do resistor e do capacitor. -
é a constante de tempo do circuito, que determina a rapidez da descarga.
Passo 4
Aplicar a condição
com
. Substituindo na expressão:
Isolando o expoente:
Tomando o logaritmo natural:
Portanto
(usei a identidade
).
Passo 5
Calcular numericamente
com as unidades corretas. Converter os valores para o SI:
Multiplicando:
Logo
.
Passo 6
Calcular
:
Avaliação do logaritmo:
Multiplicando:
Arredondando com duas casas decimais: