Quanto tempo seria gasto para descarregar um capacitor de 500 pF de 120 V para 80 V através de um resistor de 200 \mathrm{k} \Omega ?(\mathrm{t}=40,55 \mu \mathrm{~s})

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que um capacitor de C=500\\ \mathrm{pF} descarregue de 120\\ \mathrm{V} até 80\\ \mathrm{V} através de um resistor de R=200\\ \mathrm{k}\Omega. Dados extraídos do enunciado:
  • C = 500\\ \mathrm{pF} (picofarads).
  • R = 200\\ \mathrm{k}\Omega (quiloohms).
  • tensão inicial V_0 = 120\\ \mathrm{V}.
  • tensão final V(t) = 80\\ \mathrm{V}.
    Pergunta: encontrar o tempo t tal que a tensão no capacitor caia de 120\\ \mathrm{V} para 80\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Entendendo a lei de descarga de um circuito RC. Quando um capacitor descarrega através de um resistor, a corrente que sai do capacitor é dada por
i(t)=C\frac{dv(t)}{dt},
e, pela lei de Ohm no resistor, essa mesma corrente é
i(t)=\frac{v(t)}{R},
mas com sinal que indica queda de v. Colocando o sinal corretamente obtemos a equação diferencial
C\frac{dv}{dt} = -\frac{v}{R}.
Essa equação descreve que a taxa de variação da tensão é proporcional (e negativa) à própria tensão.

Passo 3

Resolver a equação diferencial. Reorganizando:
\frac{dv}{dt} = -\frac{1}{RC}\,v.
A solução dessa equação (equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente constante) é a decaimento exponencial
v(t)=V_0 e^{-t/(RC)},
onde V_0 é a constante de integração que corresponde à tensão inicial v(0)=V_0. Aqui:
  • v(t) é a tensão no capacitor no instante t.
  • R e C são os valores do resistor e do capacitor.
  • \tau=RC é a constante de tempo do circuito, que determina a rapidez da descarga.

Passo 4

Aplicar a condição v(t)=80\\ \mathrm{V} com V_0=120\\ \mathrm{V}. Substituindo na expressão:
80 = 120\,e^{-t/(RC)}.
Isolando o expoente:
e^{-t/(RC)}=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}.
Tomando o logaritmo natural:
-\frac{t}{RC}=\ln\!\left(\frac{2}{3}\right).
Portanto
t = -RC\ln\!\left(\frac{2}{3}\right) = RC\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
(usei a identidade -\ln(2/3)=\ln(3/2)).

Passo 5

Calcular numericamente RC com as unidades corretas. Converter os valores para o SI:
R = 200\\ \mathrm{k}\Omega = 200\times10^{3}\\ \Omega, \qquad C = 500\\ \mathrm{pF} = 500\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Multiplicando:
RC = (200\times10^{3})\cdot(500\times10^{-12}) =200\cdot500\times10^{3-12} =100000\times10^{-9} =1\times10^{-4}\\ \mathrm{s}.
Logo \tau=RC=1\times10^{-4}\\ \mathrm{s}=100\\ \mu\mathrm{s}.

Passo 6

Calcular t:
t = RC\ln\!\left(\frac{3}{2}\right)=100\\ \mu\mathrm{s}\times\ln\!\left(1{,}5\right).
Avaliação do logaritmo:
\ln\!\left(1{,}5\right)\approx0{,}405465108.
Multiplicando:
t\approx100\\ \mu\mathrm{s}\times0{,}405465108 \approx40{,}5465108\\ \mu\mathrm{s}.
Arredondando com duas casas decimais:
t\approx40{,}55\\ \mu\mathrm{s}.

Resposta

40{,}55\\ \mu\mathrm{s}

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