Resolva em R a seguinte equação:
4 \cdot 6^{x}-5 \cdot 12^{x}+24^{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
4\cdot6^{x}-5\cdot12^{x}+24^{x}=0.
O conteúdo é resolução de equações exponenciais usando propriedades de potências do tipo (ab)^{x}=a^{x}b^{x}. Vamos reescrever tudo em função de 2^{x} e 3^{x} para obter uma equação algébrica.

Passo 2

Defina
a = 2^{x}>0, \qquad b = 3^{x}>0.
Então
6^{x}=(2\cdot3)^{x}=a\,b, \quad 12^{x}=(2^{2}\cdot3)^{x}=a^{2}b, \quad 24^{x}=(2^{3}\cdot3)^{x}=a^{3}b.
Substituindo na equação original, vem
4\,(ab)\;-\;5\,(a^{2}b)\;+\;(a^{3}b)=0.

Passo 3

Da expressão
4ab-5a^{2}b+a^{3}b=0
fatora-se b em evidência:
b\,(4a-5a^{2}+a^{3})=0.
Como b=3^{x}>0 para todo x, podemos dividir por b sem alterar as soluções, obtendo
a^{3}-5a^{2}+4a=0.

Passo 4

O polinômio factoriza-se em
a^{3}-5a^{2}+4a = a\,(a^{2}-5a+4) = a\,(a-1)\,(a-4)=0.
Logo as raízes são
a=0,\quad a=1,\quad a=4.
Porém a=2^{x}>0, então descartamos a=0 e ficamos com a=1 e a=4.

Passo 5

Voltando a a=2^{x}:
  • Se 2^{x}=1, então x=0.
  • Se 2^{x}=4, então x=2.
Portanto, as soluções reais são x=0 e x=2.

Resposta

x=0,2

Exercícios relacionados