Resolva em R a seguinte equação:
\quad 3 \cdot 5^{2 x-2}-2 \cdot 5^{x-1}=0,2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
3\cdot 5^{2x-2} \;-\; 2\cdot 5^{x-1} \;=\; 0,2.
O conteúdo envolvido é equação exponencial. Observamos que
5^{2x-2} \;=\;\bigl(5^{x-1}\bigr)^{2},
então vamos usar a substituição
u = 5^{x-1},
reduzindo o problema a uma equação quadrática em u.

Passo 2

Com u=5^{x-1} temos
5^{2x-2} = u^2,
logo a equação original fica
3u^2 \;-\; 2u = 0,2.
Para aplicar Bhaskara, escrevemos no formato padrão:
3u^2 \;-\; 2u \;-\; 0,2 = 0.

Passo 3

Resolvendo 3u^2 - 2u - 0,2 = 0 pela fórmula de Bhaskara, onde a=3, b=-2, c=-0,2:
u = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot3\cdot(-0,2)}}{2\cdot3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 2,4}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{6,4}}{6}.
Como \sqrt{6,4} = \tfrac{4\sqrt{10}}{5}, os valores são
u_1 = \frac{2 + \tfrac{4\sqrt{10}}{5}}{6} = \frac{5 + 2\sqrt{10}}{15}, \quad u_2 = \frac{5 - 2\sqrt{10}}{15}.
Mas u = 5^{x-1} deve ser positivo, então descartamos u_2<0 e ficamos com
u = \frac{5 + 2\sqrt{10}}{15}.

Passo 4

Retornando à variável x, temos
5^{x-1} = u \quad\Longrightarrow\quad x-1 = \log_{5}(u) \quad\Longrightarrow\quad x = 1 + \log_{5}\!\Bigl(\tfrac{5 + 2\sqrt{10}}{15}\Bigr).
E lembrando que \log_{5}(y)=\tfrac{\ln(y)}{\ln(5)}, podemos reescrever em termos de logaritmo natural.

Resposta

x = 1 \;+\;\frac{\ln\!\bigl(\tfrac{5 + 2\sqrt{10}}{15}\bigr)}{\ln(5)}.

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