Resolva em R a seguinte equação:
4^{x}-5 \cdot 2^{x}-24=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
4^{x} \;-\;5\cdot2^{x}\;-\;24 \;=\;0.
O conteúdo envolve equações exponenciais e usaremos substituição para transformar em uma equação quadrática.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 2^{x}.
Note que 4^{x} = (2^2)^{x} = 2^{2x} = (2^{x})^{2} = t^{2}. Assim a equação original vira
t^{2} \;-\;5\,t\;-\;24 \;=\;0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática t^{2} - 5t - 24 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^{2} - 4\cdot1\cdot(-24)}}{2\cdot1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}.
As raízes são
t_{1} = \frac{5 + 11}{2} = 8, \quad t_{2} = \frac{5 - 11}{2} = -3.

Passo 4

Como t = 2^{x} > 0 para todo x\in\mathbb{R}, a solução t_{2}=-3 não é admissível. Mantemos t=8.

Passo 5

Voltando à variável x, temos
2^{x} = 8 = 2^{3},
logo
x = 3.

Resposta

x = 3

Exercícios relacionados