Resolva em R as seguintes condições:
\quad x^{\frac{1}{2}}-2 x^{-\frac{1}{2}}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação com expoentes fracionários
x^{\frac12}-2\,x^{-\frac12}=1.
Vamos identificar o domínio onde tudo faz sentido como número real e usar a substituição apropriada.

Passo 2

Para que \;x^{\frac12} seja real precisamos de x\ge0, e para x^{-\frac12} existir no real é preciso x\neq0.
Logo o domínio real da equação é x>0.

Passo 3

Definimos a substituição
t = x^{\frac12},
com t>0. Assim x^{-\frac12}=1/t e a equação vira
t - 2\cdot\frac1t = 1.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por t (que é positivo, não muda o sinal):
t^2 - 2 = t \quad\Longrightarrow\quad t^2 - t - 2 = 0.

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática
t^2 - t - 2 = 0
pelo discriminante \Delta = (-1)^2 -4\cdot1\cdot(-2)=9.
As raízes são
t = \frac{1\pm3}{2},
isto é, t_1=2 e t_2=-1. Como precisamos de t>0, vamos ficar com t=2.

Passo 6

Voltando à variável original:
x = t^2 = 2^2 = 4.

Resposta

A única solução real da equação é x=4.

Exercícios relacionados