Resolva em R as seguintes condições:
\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{x}{x+1}=\frac{2}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação racional
\frac{2}{x^{2}-1} \;-\;\frac{x}{x+1}\;=\;\frac{2}{x-1}.
O conteúdo é de equações com frações (racionais). Para resolver, vamos (1) determinar o domínio, (2) reduzir tudo a um denominador comum e (3) resolver a equação algébrica resultante.

Passo 2

Precisamos garantir que nenhum denominador seja zero.
Denominadores: \;x^{2}-1=(x-1)(x+1), \;x+1, \;x-1.
Eles se anulam se x=\pm1.
Logo, o domínio é
\mathbb{R}\setminus\{-1,\,1\}.

Passo 3

Vamos escrever cada termo sobre o mesmo denominador (x-1)(x+1):
\frac{2}{x^{2}-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)},
\frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x(x-1)}{x^{2}-1},
\frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)}{x^{2}-1}.

Passo 4

Substituindo na equação original, ficamos com
\frac{2}{x^{2}-1}\;-\;\frac{x(x-1)}{x^{2}-1} \;=\;\frac{2(x+1)}{x^{2}-1}.
Como x^{2}-1\neq0, podemos multiplicar tudo por x^{2}-1 e igualar os numeradores:
2 - x(x-1) = 2(x+1).

Passo 5

Resolver a equação em x:
2 - x^2 + x = 2x + 2 \quad\Longrightarrow\quad -\,x^2 + x +2 -2x -2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\,x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x+1) = 0.
As raízes são x=0 ou x=-1. Como x=-1 está fora do domínio, a única solução válida é
x = 0.

Resposta

0

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