Resolva em R as seguintes equações:
\log (x+1)-\log x=\log 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\log(x+1)-\log x = \log(2x).
Estamos trabalhando com funções logarítmicas, então vamos usar a propriedade \log a - \log b = \log\!\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)
e depois igualar argumentos, lembrando de analisar o domínio para que todos os logaritmos existam.

Passo 2

Determinar o domínio da equação. Como aparecem \log(x+1), \log x e \log(2x), precisamos de
x+1>0,\quad x>0,\quad 2x>0.
A condição mais restritiva é x>0. Então, a partir de agora buscamos soluções com x>0.

Passo 3

Aplicar a identidade de diferença de logaritmos:
\log(x+1)-\log x = \log\!\Bigl(\frac{x+1}{x}\Bigr).
A equação vira
\log\!\Bigl(\frac{x+1}{x}\Bigr) = \log(2x).

Passo 4

Como \log A = \log B implica A=B (no domínio positivo), igualamos os argumentos:
\frac{x+1}{x} = 2x.

Passo 5

Resolver a equação algébrica resultante:
\frac{x+1}{x} = 2x \quad\Longrightarrow\quad x+1 = 2x^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - x - 1 = 0.
Usamos a fórmula de Bhaskara para \displaystyle 2x^2 - x - 1 = 0:
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}.
Isso dá as raízes
x = \frac{1+3}{4} = 1 \quad\text{e}\quad x = \frac{1-3}{4} = -\tfrac12.

Passo 6

Verificar qual(is) raiz(es) está(ão) no domínio x>0.
  • x=1 satisfaz x>0.
  • x=-\tfrac12 não satisfaz x>0, então é descartada.

Resposta

A única solução real é
x = 1.

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