Resolva em R as seguintes equações sabendo que -2 é uma das raízes:
2 x^{3}+x^{2}-5 x+2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
2x^{3} + x^{2} - 5x + 2 = 0
sabendo que uma das raízes é x = -2. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Resto (que diz que, se \alpha é raiz, então o polinômio é divisível por x-\alpha) e a fórmula de Bhaskara para equações quadráticas.

Passo 2

Como -2 é raiz, podemos dividir o polinômio por x - (-2) = x + 2. Fazendo a divisão ou usando divisão sintética, obtemos o fatoramento
2x^{3} + x^{2} - 5x + 2 = (x + 2)\bigl(2x^{2} - 3x + 1\bigr).

Passo 3

Para encontrar as outras raízes, resolvemos a equação quadrática
2x^{2} - 3x + 1 = 0.
Aplicando Bhaskara:
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}.
Logo as soluções são
x = \frac{3 + 1}{4} = 1 \quad\text{e}\quad x = \frac{3 - 1}{4} = \tfrac12.

Passo 4

Juntando todas as raízes, temos as soluções reais da equação completa.

Resposta

As raízes em \mathbb{R} são
x = -2,\quad x = 1,\quad x = \tfrac12.

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