Resolva, em R, as seguintes inequaçōes, sabendo que 2 é solução das quatro propostas.
12 x+4 \leq 3 x^{2}+x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a inequação
12x + 4 \le 3x^{2} + x^{2}.
O que vamos fazer é:
– reunir todos os termos de um lado;
– identificar o polinômio quadrático resultante;
– calcular as raízes da equação associada;
– montar o diagrama de sinais para encontrar onde o polinômio é não-negativo (ou não-positivo, conforme o caso).

Passo 2

Reúna tudo no lado esquerdo. Temos
12x + 4 \le 4x^{2} \quad\Longrightarrow\quad 12x + 4 - 4x^{2} \le 0 \quad\Longrightarrow\quad -4x^{2} + 12x + 4 \le 0.
Para facilitar, multiplique os dois lados por -1 (e inverta o sinal da desigualdade):
4x^{2} - 12x - 4 \ge 0.

Passo 3

Observe que todos os coeficientes são divisíveis por 4; dividindo por 4 simplificamos a inequação para
x^{2} - 3x - 1 \ge 0.
A equação associada
x^{2} - 3x - 1 = 0
tem raízes dadas pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} em x^{2}-3x-1 é positivo, o gráfico é uma concavidade para cima. Logo, x^{2}-3x-1\ge0 ocorre fora do intervalo formado pelas raízes. Assim a solução é
x \le \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \quad\text{ou}\quad x \ge \frac{3 + \sqrt{13}}{2}.

Resposta

\boxed{\;(-\infty,\;\tfrac{3-\sqrt{13}}{2}]\;\cup\;[\tfrac{3+\sqrt{13}}{2},\;\infty)\;}.

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