Resolva, em \Re, as equações abaixo:
b) 3 x^{2}-27 x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial em \mathbb{R}:
3x^{2}-27x=0.
O que se pede: encontrar todas as soluções reais x que satisfazem essa equação. Informação útil extraída do enunciado:
  • Coeficiente do termo x^{2} é 3.
  • Coeficiente do termo x é -27.
  • Não há termo constante independente (ou seja, termo constante igual a 0).

Passo 2

Observação inicial sobre a incógnita: x é o número real desconhecido que queremos encontrar. A equação é igual a zero, então vamos transformar o lado esquerdo em um produto de fatores para usar a propriedade do produto nulo (se um produto é zero, ao menos um dos fatores é zero).

Passo 3

Fatorar por fator comum. Procuro um fator que divida todos os termos do polinômio 3x^{2}-27x. Ambos os termos têm fator numérico 3 e também têm x em comum. Então podemos escrever:
3x^{2}-27x = 3x\bigl(x - 9\bigr).
Explicando cada passo: 3x^{2}=3x\cdot x e -27x=3x\cdot(-9). Agrupando esses fatores comuns obtemos 3x(x-9).

Passo 4

Aplicar a propriedade do produto nulo. Se um produto de fatores é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Temos:
3x(x-9)=0 \quad\Rightarrow\quad 3=0 \quad\text{ou}\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x-9=0.
Como 3\neq0, esse fator não gera solução. Portanto as possibilidades que restam são
x=0 \quad\text{ou}\quad x-9=0.
Da segunda equação obtemos x=9.

Passo 5

Verificação das soluções encontradas, substituindo na equação original:
  • Para x=0:
3\cdot 0^{2}-27\cdot 0 = 0-0 = 0.
  • Para x=9:
3\cdot 9^{2}-27\cdot 9 = 3\cdot 81 - 243 = 243-243 = 0.
As duas substituições confirmam que x=0 e x=9 satisfazem a equação.

Passo 6

Interpretação final: a equação quadrática tinha grau 2, portanto podia ter até duas raízes reais; encontramos exatamente duas raízes reais distintas: 0 e 9. Pronto — passo a passo e verificado.

Resposta

x=0
x=9

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