Resolva, em \Re, as equações abaixo:
a) 25 x^{2}-1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação a ser resolvida em \Re:
25x^{2}-1=0.
O que se pede: encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade. Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • Coeficiente do termo x^{2} é 25.
  • Termo independente é -1.
  • Procuramos soluções reais (domínio \Re).

Passo 2

Isolar o termo com x^{2}. Vou aplicar operações algébricas válidas: somar 1 em ambos os lados e dividir por 25 (como 25\neq0, a divisão é válida). Assim:
25x^{2}-1=0\quad\Longrightarrow\quad 25x^{2}=1\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{1}{25}.
Comentário didático: isolar significa deixar numa forma do tipo x^{2}= (algo). Somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados e dividir ambos os lados por um número não nulo preservam a equivalência da equação.

Passo 3

Resolver x^{2}=\dfrac{1}{25} usando raiz quadrada. Regra importante: se x^{2}=a com a\ge0, então
x=\pm\sqrt{a}.
Aplicando aqui,
x=\pm\sqrt{\frac{1}{25}}.
Propriedade de raízes: \sqrt{\dfrac{p}{q}}=\dfrac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} quando p,q\ge0. Portanto
x=\pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\pm\frac{1}{5}.

Passo 4

Resolver pela fatoração (método alternativo que reforça a noção): notar que é uma diferença de quadrados,
25x^{2}-1=(5x)^{2}-1^{2}=(5x-1)(5x+1).
Pela propriedade do produto nulo, se (5x-1)(5x+1)=0 então 5x-1=0 ou 5x+1=0. Resolvendo cada uma:
5x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{5},
5x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{1}{5}.
O resultado coincide com o obtido no passo anterior (bom sinal).

Passo 5

Verificação direta (sempre boa prática): substituir x=\pm\frac{1}{5} na equação inicial para checar.
25\left(\pm\frac{1}{5}\right)^{2}-1=25\cdot\frac{1}{25}-1=1-1=0.
Portanto ambas as soluções realmente satisfazem a equação e não há soluções extranhas.

Resposta

x=\pm\frac{1}{5}

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