Resolva as recorrências de 2^{\mathrm{a}} ordem não homogêneas a seguir:
x_{n+2}=7 x_{n+1}-10 x_{n}+n 4^{n}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
x_{n+2} \;=\; 7\,x_{n+1}\;-\;10\,x_{n}\;+\;n\,4^{n}.
O conteúdo é método de recorrências lineares: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois um particular da parte não homogênea (usando coeficientes indeterminados), e finalmente somamos as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Resolvemos a parte homogênea
x_{n+2}^{(h)} \;=\; 7\,x_{n+1}^{(h)}\;-\;10\,x_{n}^{(h)}.
A equação característica é
\lambda^2 -7\lambda +10=0
com raízes \lambda=5 e \lambda=2. Logo
x_{n}^{(h)} \;=\; A\,5^{n} \;+\; B\,2^{n},
com A,B constantes arbitrárias.

Passo 3

Para um particular x_n^{(p)} do termo não homogêneo n4^n, como 4 não é raiz da característica, propomos
x_{n}^{(p)} \;=\; (a\,n + b)\,4^{n}.
Então
x_{n+1}^{(p)} = (a(n+1)+b)\,4^{n+1}, \quad x_{n+2}^{(p)} = (a(n+2)+b)\,4^{n+2}.
Substituindo em x_{n+2}-7x_{n+1}+10x_{n}=n4^n e fatorando 4^n, obtemos
\bigl[-2a\,n + (4a -2b)\bigr]4^n \;=\; n\,4^n.
Comparando coeficientes de n e do termo constante dá
-2a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac12, \qquad 4a -2b =0 \quad\Longrightarrow\quad b=-1.
Assim
x_{n}^{(p)} = \Bigl(-\tfrac12\,n -1\Bigr)4^n.

Passo 4

A solução geral é soma da homogênea com a particular:
x_{n} = x_{n}^{(h)} + x_{n}^{(p)} = A\,5^{n} + B\,2^{n} \;+\;\Bigl(-\tfrac12\,n -1\Bigr)4^n,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais (se fornecidas).

Resposta

x_{n} = A\,5^{n} + B\,2^{n} -\Bigl(\tfrac12\,n +1\Bigr)4^n.

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