Resolva as recorrências de
ordem não homogêneas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
O método será:
- Encontrar a solução geral
da parte homogênea associada. - Achar uma solução particular
por coeficientes a determinar, somando as contribuições de e de . - Combinar tudo para obter a solução geral.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea
é
com raiz dupla
. Logo
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte polinomial
, usamos o ansatz
porque
não é raiz da característica. Calculamos
então
Queremos que isso seja igual a
, isto é,
Assim
Logo
Passo 4
Para a parte exponencial
, usamos o ansatz
pois
não é raiz da característica. Substituindo,
Queremos
, então
Logo
Passo 5
A solução particular total é
Portanto, a solução geral da recorrência é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
com
ajustados pelos valores iniciais.