Resolva as recorrências de 2^{\mathrm{a}} ordem não homogêneas a seguir:
x_{n+2}+8 x_{n+1}+16 x_{n}=n-3^{n}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
x_{n+2} + 8\,x_{n+1} + 16\,x_n = n - 3^n.
O método será:
  1. Encontrar a solução geral x_n^h da parte homogênea associada.
  2. Achar uma solução particular x_n^p por coeficientes a determinar, somando as contribuições de n e de 3^n.
  3. Combinar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea
x_{n+2} + 8\,x_{n+1} + 16\,x_n = 0
é
r^2 + 8r + 16 = 0 \;\Longrightarrow\;(r + 4)^2 = 0,
com raiz dupla r=-4. Logo
x_n^h = (A + B\,n)\,(-4)^n,
onde A e B são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte polinomial n, usamos o ansatz
x_n^{p_1} = C\,n + D,
porque 1 não é raiz da característica. Calculamos
x_{n+1}^{p_1} = C(n+1)+D,\quad x_{n+2}^{p_1} = C(n+2)+D,
então
x_{n+2}^{p_1} + 8x_{n+1}^{p_1} + 16x_n^{p_1} = (C(n+2)+D) + 8(C(n+1)+D) +16(Cn+D) = 25C\,n + 10C +25D.
Queremos que isso seja igual a n, isto é,
25C\,n + (10C +25D) = 1\cdot n + 0.
Assim
25C = 1\quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac1{25},
10C +25D = 0\quad\Longrightarrow\quad 10\!\cdot\tfrac1{25} +25D = 0 \;\Longrightarrow\;D = -\tfrac{2}{125}.
Logo
x_n^{p_1} = \tfrac{1}{25}\,n - \tfrac{2}{125}.

Passo 4

Para a parte exponencial -3^n, usamos o ansatz
x_n^{p_2} = E\,3^n,
pois r=3 não é raiz da característica. Substituindo,
x_{n+2}^{p_2} + 8x_{n+1}^{p_2} +16x_n^{p_2} = E\bigl(3^{n+2} +8\cdot3^{n+1} +16\cdot3^n\bigr) = E\,3^n\,(9 +24 +16) =49E\,3^n.
Queremos 49E\,3^n = -3^n, então
49E = -1\quad\Longrightarrow\quad E = -\tfrac1{49}.
Logo
x_n^{p_2} = -\tfrac{1}{49}\,3^n.

Passo 5

A solução particular total é
x_n^p = x_n^{p_1} + x_n^{p_2} = \Bigl(\tfrac{1}{25}\,n - \tfrac{2}{125}\Bigr) - \tfrac{1}{49}\,3^n.
Portanto, a solução geral da recorrência é
x_n = x_n^h + x_n^p = (A + B\,n)\,(-4)^n + \tfrac{1}{25}\,n - \tfrac{2}{125} - \tfrac{1}{49}\,3^n,
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\boxed{ x_n = (A + B\,n)\,(-4)^n + \frac{n}{25} - \frac{2}{125} - \frac{3^n}{49}, }
com A,B\in\mathbb{R} ajustados pelos valores iniciais.

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