Resolva as recorrências de 2^{\mathrm{a}} ordem não homogêneas a seguir:
3 x_{n+2}-8 x_{n+1}+4 x_{n}=1+2 \cdot 5^{n}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
3x_{n+2}-8x_{n+1}+4x_{n}=1+2\cdot5^{n}.
O conteúdo envolvido é a solução geral de recorrências lineares: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea (característica), depois uma solução particular e, por fim, somamos para obter a solução geral completa.

Passo 2

Vamos à parte homogênea associada:
3x_{n+2}-8x_{n+1}+4x_{n}=0.
A equação característica é
3r^2-8r+4=0.
Resolvendo,
r=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{6}=\frac{8\pm4}{6},
ou seja
r_1=2,\quad r_2=\tfrac{2}{3}.
Logo a solução geral homogênea é
x_n^{(h)}=A\cdot2^n+B\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular x_n^{(p1)} para o termo constante 1. Como é constante, tentamos
x_n^{(p1)}=C.
Substituindo na recorrência:
3C-8C+4C=(3-8+4)C=-C\overset{!}{=}1 \quad\Longrightarrow\quad C=-1.
Portanto
x_n^{(p1)}=-1.

Passo 4

Em seguida, tratamos o termo 2\cdot5^n. Como 5 não é raiz da característica, tentamos
x_n^{(p2)}=D\cdot5^n.
Substituindo,
3D\cdot5^{n+2}-8D\cdot5^{n+1}+4D\cdot5^n =D\cdot5^n\bigl(3\cdot25-8\cdot5+4\bigr) =D\cdot5^n\cdot39 \overset{!}{=}2\cdot5^n.
Logo
39D=2 \quad\Longrightarrow\quad D=\frac{2}{39}.
Então
x_n^{(p2)}=\frac{2}{39}\,5^n.

Passo 5

Pela superposição, a solução geral da recorrência é
x_n =x_n^{(h)}+x_n^{(p1)}+x_n^{(p2)} =A\cdot2^n+B\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n -1 +\frac{2}{39}\,5^n,
onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

x_n =A\cdot2^n+B\cdot\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n -1 +\frac{2}{39}\,5^n.

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