Resolva as recorrências de
ordem não homogêneas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
ou seja, temos uma parte homogênea de coeficientes constantes e um termo não homogêneo
. Para resolver, vamos usar:
- solução da recorrência homogênea via equação característica;
- método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular;
- combinar as duas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Resolvendo a parte homogênea
montamos a equação característica
As raízes são
Logo, a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes a determinar por condições iniciais.
Passo 3
Procuramos uma solução particular
do tipo polinomial de grau 1, pois o termo não homogêneo é
. Então fazemos
e vamos determinar
e
.
Passo 4
Substituindo
Lado direito:
Igualando coeficientes de
e termo constante:
da primeira vem
. Substituindo na segunda:
Portanto
Passo 5
A solução geral da recorrência é a soma das partes homogênea e particular:
onde
e
são constantes ajustáveis por condições iniciais.