Resolva as recorrências de 2^{\mathrm{a}} ordem não homogêneas a seguir:
x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}+6 n+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência de segunda ordem não homogênea
x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}+6\,n+3,
ou seja, temos uma parte homogênea de coeficientes constantes e um termo não homogêneo 6n+3. Para resolver, vamos usar:
  1. solução da recorrência homogênea via equação característica;
  2. método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular;
  3. combinar as duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea
x_{n+2}^{(h)}=x_{n+1}^{(h)}+x_{n}^{(h)},
montamos a equação característica
r^2 - r - 1 = 0.
As raízes são
r = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Logo, a solução geral da parte homogênea é
x_{n}^{(h)} = A\Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n} + B\Bigl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n},
onde A e B são constantes a determinar por condições iniciais.

Passo 3

Procuramos uma solução particular x_{n}^{(p)} do tipo polinomial de grau 1, pois o termo não homogêneo é 6n+3. Então fazemos
x_{n}^{(p)} = a\,n + b,
e vamos determinar a e b.

Passo 4

Substituindo x_{n}^{(p)}\) na recorrência: Lado esquerdo: \[x_{n+2}^{(p)} = a(n+2) + b = a n + 2a + b.
Lado direito:
x_{n+1}^{(p)} + x_{n}^{(p)} + 6n + 3 = \bigl[a(n+1)+b\bigr] + \bigl[a n + b\bigr] + 6n +3 = (2a+6)\,n + (a + 2b +3).
Igualando coeficientes de n e termo constante:
\begin{cases} a = 2a + 6,\\\\ 2a + b = a + 2b + 3, \end{cases}
da primeira vem -a=6\] logo \(a=-6. Substituindo na segunda:
2(-6)+b = -6 +2b +3 \implies -12 + b = -3 +2b \implies b=-9.
Portanto
x_{n}^{(p)} = -6n - 9.

Passo 5

A solução geral da recorrência é a soma das partes homogênea e particular:
x_{n} = x_{n}^{(h)} + x_{n}^{(p)} = A\Bigl(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n} + B\Bigl(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n} -6n - 9,
onde A e B são constantes ajustáveis por condições iniciais.

Resposta

\boxed{ x_{n} = A\Bigl(\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n} + B\Bigl(\tfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Bigr)^{n} -6n - 9. }

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