Resolva as recorrências de 2^{\mathrm{a}} ordem não homogêneas a seguir:
x_{n+2}-5 x_{n+1}+6 x_{n}=n-5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência não homogênea de segunda ordem
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=n-5.
O conteúdo usado será:
  1. Resolver a parte homogênea via equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular por tentativa de polinômio de grau 1 (já que o termo não homogêneo é n-5).

Passo 2

Para a parte homogênea associada
x_{n+2}-5x_{n+1}+6x_{n}=0
escrevemos a equação característica
r^2-5r+6=0,
cuja solução é
r=2\quad\text{ou}\quad r=3.
Logo, a solução geral da parte homogênea é
x_n^{(h)} = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n,
com constantes A e B.

Passo 3

Procuramos uma solução particular da forma
x_n^{(p)} = an + b.
Substituindo na recorrência:
(a(n+2)+b)-5\,(a(n+1)+b)+6\,(an+b) =2a\,n +\bigl(-3a+2b\bigr).
Esse deve ser igual a n-5. Igualando coeficientes:
2a = 1 \quad\Rightarrow\quad a=\tfrac12,
-3a+2b = -5 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac32+2b=-5 \quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac74.
Logo
x_n^{(p)} = \tfrac12\,n - \tfrac74.

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da parte homogênea com a particular:
x_n = A\cdot 2^n + B\cdot 3^n + \Bigl(\tfrac12\,n - \tfrac74\Bigr).

Resposta

x_n = A\,2^n + B\,3^n + \frac{n}{2} - \frac{7}{4},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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